Exercício 5. Calcule a integral de linha do campo pelo caminho especificado.
\vec{F}(x, y)=\left(x^{2} y,-x y\right) e \gamma é a reta que liga (0,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r
onde
\vec{F}(x,y) = \bigl(x^2y,\,-xy\bigr)
e \gamma é a reta de (0,0) a (1,1).
Conteúdo: integral de linha de campo vetorial não conservativo. Vamos usar parametrização da curva.

Passo 2

Parametrizamos \gamma por
\vec r(t) = \bigl(t,\,t\bigr), \quad 0\le t\le1.
Então
\frac{d\vec r}{dt} = \bigl(1,\,1\bigr).

Passo 3

Substituímos na campo para obter \vec F\bigl(\vec r(t)\bigr):
\vec F\bigl(t,t\bigr) = \bigl(t^2\cdot t,\,-t\cdot t\bigr) = \bigl(t^3,\,-t^2\bigr).
O produto escalar com \frac{d\vec r}{dt} é
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \frac{d\vec r}{dt} = t^3\cdot1 + (-t^2)\cdot1 = t^3 - t^2.

Passo 4

A integral de linha fica
\int_{0}^{1}\bigl(t^3 - t^2\bigr)\,dt = \Bigl[\tfrac{t^4}{4} - \tfrac{t^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{12}.

Resposta

\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r = -\frac{1}{12}.

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