Exercício 4. Calcule a integral de linha do campo vetorial vec{F} sobre gamma especificada:
vec{F}(x, y, z)=y z \vec{i}+x^{2} \vec{j}+x z \vec{k} e gamma é o segmento de reta que liga (0,0,0) a (1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde
\mathbf{F}(x,y,z)=yz\,\mathbf{i}+x^{2}\,\mathbf{j}+xz\,\mathbf{k}
e \gamma é o segmento de reta que vai de (0,0,0) a (1,1,1).
Para resolver, vamos parametrizar \gamma, substituir em \mathbf{F} e usar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t).

Passo 2

Parametrizamos o segmento por
\mathbf{r}(t)=(t,t,t), \qquad t\in[0,1].
Então
\mathbf{r}'(t)=(1,1,1), \quad d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 3

Avaliamo \mathbf{F} ao longo de \gamma:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\bigl(yz,\;x^{2},\;xz\bigr)\Big|_{(t,t,t)} =(t\cdot t,\;t^{2},\;t\cdot t) =(t^{2},\,t^{2},\,t^{2}).

Passo 4

O produto escalar é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) =(t^{2},t^{2},t^{2})\cdot(1,1,1) =3t^{2}.
Logo a integral de linha vira
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}3t^{2}\,dt.

Passo 5

Basta calcular
\int_{0}^{1}3t^{2}\,dt =3\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =3\cdot\frac{1}{3} =1.

Resposta

O valor da integral de linha é 1.

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