Exercício 5. Inverta a ordem de integração na integral \int_{0}^{1} \int_{x}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x, y) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{1}\int_{y=x}^{y=\sqrt{2 - x^{2}}}f(x,y)\,dy\,dx.
O que precisamos fazer é descrever a região
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;x\le y\le \sqrt{2 - x^{2}}\}
e em seguida reescrever a integral como \displaystyle \int_{y=y_{\min}}^{y_{\max}}\int_{x=x_{1}(y)}^{x_{2}(y)}f(x,y)\,dx\,dy.

Passo 2

Vamos entender geometricamente D:
  • A reta y=x.
  • O arco de círculo x^{2}+y^{2}=2 com y\ge0.
  • As retas verticais x=0 e x=1.
    Assim, D é a parte no primeiro quadrante entre a linha y=x e o círculo de raio \sqrt{2}, limitada por 0\le x\le1.

Passo 3

Agora projetamos D sobre o eixo y.
O menor valor de y ocorre quando x=0 e y=x, ou seja y_{\min}=0.
O maior valor de y ocorre no círculo quando x=0, ou seja
y_{\max}=\sqrt{2}\,.

Passo 4

Para inverter a ordem, fixamos um y e achamos os valores de x tais que (x,y)\in D.
  1. Se 0\le y\le1, então a condição y\ge x é mais restritiva que y\le\sqrt{2-x^{2}}, porque \sqrt{2-x^{2}}\ge1. Logo
0\;\le\;x\;\le\;y.
  1. Se 1\le y\le\sqrt{2}, a relação y\le\sqrt{2-x^{2}} impõe
x^{2}\le 2-y^{2}\quad\Longrightarrow\quad 0\le x\le \sqrt{2-y^{2}}.
A condição x\le y fica automaticamente satisfeita para x\le\sqrt{2-y^{2}}<1\le y.

Passo 5

Juntando tudo, a integral invertida fica
\int_{y=0}^{1}\!\!\Bigl(\int_{x=0}^{y}f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy \;+\; \int_{y=1}^{\sqrt{2}}\!\!\Bigl(\int_{x=0}^{\sqrt{2-y^{2}}}f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}f(x,y)\,dx\,dy \;+\; \int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{\sqrt{2-y^{2}}}f(x,y)\,dx\,dy.

Exercícios relacionados