Exercício 5. Inverta a ordem de integração na integral
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
O que precisamos fazer é descrever a região
e em seguida reescrever a integral como
.
Passo 2
Vamos entender geometricamente
:
- A reta
. - O arco de círculo
com . - As retas verticais
e .
Assim,é a parte no primeiro quadrante entre a linha e o círculo de raio , limitada por .
Passo 3
Agora projetamos
sobre o eixo
.
O menor valor de ocorre quando
e
, ou seja
.
O maior valor de ocorre no círculo quando
, ou seja
O menor valor de
O maior valor de
Passo 4
Para inverter a ordem, fixamos um
e achamos os valores de
tais que
.
- Se
, então a condição é mais restritiva que , porque . Logo
- Se
, a relação impõe
A condição
fica automaticamente satisfeita para
.
Passo 5
Juntando tudo, a integral invertida fica