Exercício 9.
Neste exercício iremos demonstrar a fórmula
, de fundamental importância e uso na Estatística, por meio da integral dupla. Siga os passos:
(a) Defina
o disco
em
e calcule a integral
(b) Faça a
na expressão da integral acima para obter a integral imprópria
(c) Reduza a integrais iteradas para obter
e conclua o resultado daí.
-
Observe que não definimos formalmente integrais impróprias em
nem em
. Porém vamos assumir que ela pode ser expressada como nos itens adiante. Vale ressaltar que os cálculos realizados requerem uma justificativa melhor para serem formais.
(a) Defina
Observe que não definimos formalmente integrais impróprias em nem em . Porém vamos assumir que ela pode ser expressada como nos itens adiante. Vale ressaltar que os cálculos realizados requerem uma justificativa melhor para serem formais.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
usando integrais duplas. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares e o fato de que a integral sobre o quadrado
se separa em produto de integrais unidimensionais.
Passo 2
Definimos o disco
e calculamos
Em coordenadas polares,
,
, o Jacobiano é
, e
vira
,
. Assim
Fazendo a mudança
,
, obtém-se
logo
Passo 3
Fazendo
na expressão acima, como
, vem
Passo 4
Por outro lado, para cada
a integral dupla sobre o quadrado
separa-se em produto de integrais unidimensionais:
Quando
, esse quadrado ocupa todo
, e portanto
Passo 5
Reunindo os limites, definimos
e vemos que
Como
, concluímos