Exercício 9. { }^{1} Neste exercício iremos demonstrar a fórmula \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x=\sqrt{\pi}, de fundamental importância e uso na Estatística, por meio da integral dupla. Siga os passos:
(a) Defina D_{a} o disco x^{2}+y^{2}=a^{2} em \mathbb{R}^{2} e calcule a integral
\iint_{D_{a}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y
(b) Faça a \rightarrow \infty na expressão da integral acima para obter a integral imprópria
\iint_{\mathbb{R}^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y=\pi
(c) Reduza a integrais iteradas para obter
\left(\lim _{a \rightarrow \infty} \int_{-a}^{a} e^{-x^{2}} d x\right)^{2}=\pi
e conclua o resultado daí.

  1. { }^{1} Observe que não definimos formalmente integrais impróprias em \mathbb{R} nem em \mathbb{R}^{2}. Porém vamos assumir que ela pode ser expressada como nos itens adiante. Vale ressaltar que os cálculos realizados requerem uma justificativa melhor para serem formais.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx = \sqrt{\pi}
usando integrais duplas. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares e o fato de que a integral sobre o quadrado [-a,a]\times[-a,a] se separa em produto de integrais unidimensionais.

Passo 2

Definimos o disco D_{a} = \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2}\} e calculamos
I(a) \;=\; \iint_{D_{a}} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.
Em coordenadas polares, x = r\cos\theta, y=r\sin\theta, o Jacobiano é r, e D_{a} vira 0\le r\le a, 0\le\theta\le2\pi. Assim
I(a) \;=\; \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{a} e^{-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta \;=\; 2\pi \int_{0}^{a} r\,e^{-r^{2}}\,dr.
Fazendo a mudança u = r^{2}, du = 2r\,dr, obtém-se
\int_{0}^{a} r\,e^{-r^{2}}\,dr = -\tfrac12\bigl[e^{-r^{2}}\bigr]_{0}^{a} = \tfrac12\bigl(1 - e^{-a^{2}}\bigr),
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I(a) = 2\pi\cdot\tfrac12\bigl(1 - e^{-a^{2}}\bigr) = \pi\bigl(1 - e^{-a^{2}}\bigr).

Passo 3

Fazendo a\to\infty na expressão acima, como e^{-a^{2}}\to0, vem
\iint_{\mathbb{R}^{2}} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy = \lim_{a\to\infty} I(a) = \lim_{a\to\infty} \pi\bigl(1 - e^{-a^{2}}\bigr) = \pi.

Passo 4

Por outro lado, para cada a>0 a integral dupla sobre o quadrado [-a,a]\times[-a,a] separa-se em produto de integrais unidimensionais:
\int_{-a}^{a}\!\int_{-a}^{a} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy = \Bigl(\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}}\,dx\Bigr)\, \Bigl(\int_{-a}^{a} e^{-y^{2}}\,dy\Bigr) = \Bigl(\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}}\,dx\Bigr)^{2}.
Quando a\to\infty, esse quadrado ocupa todo \mathbb{R}^{2}, e portanto
\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{a}\!\int_{-a}^{a} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy = \iint_{\mathbb{R}^{2}} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy = \pi.

Passo 5

Reunindo os limites, definimos
J = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx
e vemos que
J^{2} = \lim_{a\to\infty} \Bigl(\int_{-a}^{a} e^{-x^{2}}\,dx\Bigr)^{2} = \pi.
Como J>0, concluímos
J = \sqrt{\pi}.

Resposta

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,dx = \sqrt{\pi}.

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