Exercício 3 Calcule a integral indefinida.
integral(5x-raizx+raiz[5]x^2) d x

Passo 1

A integral que temos é a integral indefinida de uma soma de funções:
integrall(5x-raizx+raiz[5]x^2r)dx.
O conteúdo aqui é a integração de potências (e um caso especial de logaritmo) e vamos precisar usar a propriedade de linearidade e a regra de potência (e o caso n=-1).

Passo 2

Primeiro aplicamos a linearidade e escrevemos tudo em termos de potências:
integrall(tfrac5x-raizx+raiz[5]x^2r)dx =integrall(5x^-1-x^1/2+x^2/5r)dx =integral5x^-1dx-integral x^1/2dx+integral x^2/5dx

Passo 3

A teoria que vamos usar é esta:
  • Para nneq -1,
integral x^n dx=x^n+1n+1+C
- Para n=-1, isto é x^-1,
integral x^-1dx=lnlvert xrvert+C

Passo 4

Agora integramos cada termo separadamente:
integral5x^-1dx=5lnlvert xrvert, integral x^1/2dx=x^3/23/2=23x^3/2, integral x^2/5dx=x^7/57/5=57x^7/5
Observe que o segundo integral veio com sinal negativo porque tinha -raizx.

Passo 5

Somando as três antiderivadas e incluindo a constante de integração C, chegamos à solução final.

Resposta

5lnlvert xrvert - tfrac23x^3/2 + tfrac57x^7/5 + C

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