Exercício 6. Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} para cada campo e curva dados.
\vec{F}=(x+2 y) \vec{i}+(x-y) \vec{j}, e C: x=\cos (t), y= 4 \operatorname{sen}(t), 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}
onde \vec{F}=(x+2y)\,\vec{i}+(x-y)\,\vec{j} e C é dada pela parametrização
x=\cos t,\quad y=4\sin t,\quad 0\le t\le\frac{\pi}{4}.
Para resolver, vamos usar a definição de integral de linha paramétrica:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{a}^{b}\vec{F}\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t)\,dt.

Passo 2

Escrevendo r(t) e sua derivada:
r(t)=(\cos t,\,4\sin t), \quad r'(t)=(-\sin t,\,4\cos t).
Em r(t), o campo vale
\vec{F}(r(t)) =\bigl(\cos t+2\cdot4\sin t,\;\cos t-4\sin t\bigr) =(\cos t+8\sin t,\;\cos t-4\sin t).
Logo o produto escalar é
\vec{F}(r(t))\cdot r'(t) =(-\sin t)(\cos t+8\sin t)+(4\cos t)(\cos t-4\sin t).

Passo 3

Expandindo e agrupando termos:
\begin{aligned} \vec{F}\cdot r' &=-\sin t\cos t-8\sin^2 t+4\cos^2 t-16\sin t\cos t\\\ &=4\cos^2 t-8\sin^2 t-17\sin t\cos t. \end{aligned}
Assim a integral fica
\int_{0}^{\pi/4}\bigl(4\cos^2 t-8\sin^2 t-17\sin t\cos t\bigr)\,dt.

Passo 4

Usamos \cos^2 t=\tfrac{1+\cos2t}{2}, \sin^2 t=\tfrac{1-\cos2t}{2} e \sin t\cos t=\tfrac12\sin2t.
Então o integrando vira
\begin{aligned} 4\cos^2 t-8\sin^2 t-17\sin t\cos t &=-2+6\cos2t-\tfrac{17}{2}\sin2t. \end{aligned}
Integramos:
\int\!(-2)\,dt +6\!\int\cos2t\,dt -\tfrac{17}{2}\!\int\sin2t\,dt =-2t+3\sin2t+\tfrac{17}{4}\cos2t.

Passo 5

Avaliamos de 0 a \tfrac{\pi}{4}:
\Bigl[-2t+3\sin2t+\tfrac{17}{4}\cos2t\Bigr]_{0}^{\pi/4} =\bigl(-\tfrac{\pi}{2}+3+0\bigr)-\bigl(0+0+\tfrac{17}{4}\bigr) =-\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{5}{4}.

Resposta

-\frac{2\pi+5}{4}.

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