Exercício 7. Calcule o trabalho ao se deslocar uma partícula no campo de força
\vec{F}=3 x^{2} \vec{i}+(2 x z-y) \vec{j} ao longo
da curva x=2 t^{2}, y=t, z=4 t^{2} de t=0 até t=1.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força \vec F = 3x^2\,\vec i + (2xz - y)\,\vec j ao longo da curva parametrizada por
x = 2t^2,\quad y = t,\quad z = 4t^2,
de t=0 até t=1.
Aqui vamos usar o conceito de integral de linha para calcular
W = \int_C \vec F\cdot d\vec r = \int_{0}^{1} \vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \vec r\,'(t)\,dt.

Passo 2

Primeiro escrevemos a parametrização em forma de vetor e calculamos sua derivada:
\vec r(t) = \bigl(2t^2,\;t,\;4t^2\bigr),
\vec r\,'(t) = \bigl(\tfrac{d}{dt}(2t^2),\;\tfrac{d}{dt}t,\;\tfrac{d}{dt}(4t^2)\bigr) = (4t,\;1,\;8t).

Passo 3

Agora substituímos na força \vec F:
x=2t^2\implies x^2=4t^4,\quad y=t,\quad z=4t^2,
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) = \bigl(3x^2,\;2xz - y,\;0\bigr) = \bigl(3\cdot4t^4,\;2\cdot(2t^2)\cdot(4t^2)-t,\;0\bigr) = \bigl(12t^4,\;16t^4 - t,\;0\bigr).

Passo 4

Formamos o produto escalar
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \vec r\,'(t) = (12t^4)\,(4t) \;+\;(16t^4 - t)\,(1)\;+\;0\cdot(8t) = 48t^5 +16t^4 - t.

Passo 5

Integramos de 0 a 1:
W = \int_{0}^{1}\bigl(48t^5 +16t^4 - t\bigr)\,dt = \Bigl[8t^6 + \tfrac{16}{5}t^5 - \tfrac{t^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} = 8 + \tfrac{16}{5} - \tfrac12 = \tfrac{107}{10}.

Resposta

O trabalho realizado é
W = \frac{107}{10}.

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