Exercício 2: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
Passo 1
Beleza, a questão pede para calcular e justificar se existe (ou não) o limite da função
quando
se aproxima de 2.
Conteúdo: limites de função em ponto de descontinuidade infinita.
O que vamos usar: ideia de limite (valor que a função “tende” a assumir) e limites laterais (direita e esquerda).
Conteúdo: limites de função em ponto de descontinuidade infinita.
O que vamos usar: ideia de limite (valor que a função “tende” a assumir) e limites laterais (direita e esquerda).
Passo 2
Primeiro, lembrando a teoria: o limite
significa que, conforme
chega perto de
,
se aproxima de um número finito
.
Se, em vez de se aproximar de um número, cresce sem limite, dizemos que o limite “vai para
” ou “
”.
Aqui, substituindo direto em
, a gente vê que dá
, ou seja, indefinido. Então precisamos analisar os lados.
Se, em vez de se aproximar de um número,
Aqui, substituindo direto
Passo 3
Limite pela direita (
):
Quando e muito perto de 2, o termo
é um número positivo pequenininho.
Logo
Quando
Logo
Ou seja,
.
Passo 4
Limite pela esquerda (
):
Quando e muito perto de 2,
é um número negativo pequenininho.
Então
Quando
Então
Ou seja,
.
Passo 5
Teoria final: para existir
como número real, os limites laterais têm de coincidir num mesmo valor finito.
Aqui, pela direita dá e pela esquerda dá
. São diferentes e nem são números reais.
Aqui, pela direita dá