Exercício 2: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
f(x)=1x-2
lim x 2 f(x)

Passo 1

Beleza, a questão pede para calcular e justificar se existe (ou não) o limite da função
f(x)=1x-2
quando x se aproxima de 2.
Conteúdo: limites de função em ponto de descontinuidade infinita.
O que vamos usar: ideia de limite (valor que a função “tende” a assumir) e limites laterais (direita e esquerda).

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria: o limite limxto af(x)=L significa que, conforme x chega perto de a, f(x) se aproxima de um número finito L.
Se, em vez de se aproximar de um número, |f(x)| cresce sem limite, dizemos que o limite “vai para infty” ou “ -infty”.
Aqui, substituindo direto x=2 em f(x)=1/(x-2), a gente vê que dá 1/0, ou seja, indefinido. Então precisamos analisar os lados.

Passo 3

Limite pela direita ( xto2^+):
Quando x>2 e muito perto de 2, o termo (x-2) é um número positivo pequenininho.
Logo
1x-2;=;1positivo pequeno;longrightarrow;+infty
Ou seja, limxto2^+1x-2=+infty.

Passo 4

Limite pela esquerda ( xto2^-):
Quando x<2 e muito perto de 2, (x-2) é um número negativo pequenininho.
Então
1x-2;=;1negativo pequeno;longrightarrow;-infty
Ou seja, limxto2^-1x-2=-infty.

Passo 5

Teoria final: para existir limxto2f(x) como número real, os limites laterais têm de coincidir num mesmo valor finito.
Aqui, pela direita dá +infty e pela esquerda dá -infty. São diferentes e nem são números reais.

Resposta

limxto21x-2 não existe (a função diverge para +infty pela direita e para -infty pela esquerda).

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