5^a Questão: Utilize integrais múltiplas para determinar:
o volume do elipsóide de equação
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1,
onde a>0, b>0 e c>0. Dica: Use mudança de coordenadas dada por x=a u, y=b v e z=c w.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o volume do elipsóide
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
com a,b,c>0.
Matéria envolvida: integrais triplas e mudança de variáveis usando jacobiano.
Vamos precisar escrever o volume como uma integral em (x,y,z), depois trocar para variáveis “mais simpáticas” e usar coordenadas esféricas.

Passo 2

O volume de uma região EsubsetR^3 é dado por
V=integral triplaEdV
Aqui E é o elipsóide (x,y,z):x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1.
Então começamos com
V=integral triplax^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1dx,dy,dz

Passo 3

A dica diz pra usar a mudança de variáveis
x=a,u, y=b,v, z=c,w
O jacobiano dessa transformação é
J=|partial(x,y,z)partial(u,v,w)|=abc,
ou seja dx,dy,dz=abc,du,dv,dw.
Além disso, a condição do elipsóide vira
(a,u)^2a^2+(b,v)^2b^2+(c,w)^2c^2<=1 ;Longrightarrow; u^2+v^2+w^2<=1,
que é a bola unitária B=(u,v,w):u^2+v^2+w^2<=1.
Logo
V =integral triplaEdx,dy,dz =abc;integral triplaBdu,dv,dw

Passo 4

Para calcular integral triplaBdu,dv,dw usamos coordenadas esféricas em (u,v,w):
u=rsinthetacosphi, v=rsinthetasinphi, w=rcostheta,
com rin[0,1], thetain[0,pi], phiin[0,2pi] e
du,dv,dw=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi
Então
integral triplaBdu,dv,dw =integral0^2pi!integral0^pi!integral0^1 r^2sintheta,dr,dtheta,dphi =l(integral0^1r^2drr) l(integral0^pisintheta,dthetar) l(integral0^2pidphir) =13times2times2pi =4pi3
logo
V=abc;times4pi3

Resposta

boxedV=4pi3,a,b,c

Exercícios relacionados