Exercício 7.2. Calcule L^{-1}[F(s)], sendo:
F(s)=\frac{s-7}{s^{2}+s-6}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{s-7}{s^{2}+s-6}.
O conteúdo principal é usar frações parciais para decompor F(s) e depois aplicar a tabela de transformadas inversas de Laplace, em especial
\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s-a}\bigr\}=e^{at}.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador e montar a expansão em frações parciais. Primeiro,
s^{2}+s-6=(s-2)(s+3),
então propomos
\frac{s-7}{(s-2)(s+3)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+3}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s+3)\), obtemos \[s-7 = A(s+3)+B(s-2).
Isso gera o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\\\ 3A-2B=-7. \end{cases}
Resolvendo, de A=1-B\] na primeira equação e substituindo na segunda, vem \(B=2 e A=-1.

Passo 4

Com A=-1 e B=2, a decomposição fica
F(s)=-\frac{1}{s-2}+\frac{2}{s+3}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa a cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{1}{s-2}\Bigr\}=-e^{2t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{2}{s+3}\Bigr\}=2e^{-3t}.
Somando as duas partes, obtemos a solução no domínio do tempo.

Resposta

L^{-1}\{F(s)\} = -e^{2t} + 2e^{-3t}.

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