Exercício 7.1. a) Use a igualdade (7.13) para calcular L[\operatorname{sen} \omega t] eL[\cos \omega t]. Sugestão: (\operatorname{sen} \omega t)^{\prime \prime}=-\omega^{2} \operatorname{sen} \omega t e(\cos \omega t)^{\prime \prime}=-\omega^{2} \cos \omega t. b) Calcule as seguintes transformadas:
i) L[7 \cos 3 t-4 \operatorname{sen} 3 t]
ii) L\left[5 e^{-3 t}\right]
c) (i) Mostre que, se f é T-periódica (isto é, f(t+T)=f(t), para todo t \geq 0 ), então L[f(t)]=\frac{1}{1-e^{-s T}} \int_{0}^{T} e^{-s t} f(t) d t.
(ii) Mostre que, se f é 2 -periódica e f(t)=\left\{\begin{aligned} 1, & \text { se } 0<t<1 \\\\ -1, & \text { se } 1<t<2,\end{aligned}\right. então L[f(t)]=\frac{1}{s} \operatorname{tg} \mathrm{~h} \frac{s}{2}.
iii) L\left[e^{-3 t} \operatorname{sen} 4 t\right]
iv) L\left[e^{-3 t} \cos 2 t\right]
v) L\left[t^{3} e^{-5 t}\right]
vi) L\left[e^{-2 t}-4 t^{3}\right]
vii) L[\operatorname{cosh} 2 t-3 \operatorname{senh} 2 t]
viii) L\left[t^{2} \cos t\right]
ix) L\left[t e^{3 t}-\operatorname{sen} 2 t\right]
x) L[4 \cos 2 t-t \cos 2 t]
xi) L\left[t e^{3 t} \operatorname{sen} 4 t\right]
xii) L\left[3 \cos 2 t-t e^{5 t}\right]
xiii) L[\operatorname{sen} t-t \cos t]
xiv) L\left[\left(e^{t}-2 t\right)^{2}\right]
xv) L\left[t e^{-3 t} \cos 4 t\right]
(iii) Mostre que, se f é 2 \pi-periódica e f(t)=\left\{\begin{array}{cl}\operatorname{sen} t, & \text { se } 0 \leq t \leq \pi \\\\ 0, & \text { se } \pi \leq t \leq 2 \pi,\end{array}\right. então L[f(t)]=\frac{1}{\left(1-e^{-\pi s}\right)\left(s^{2}+1\right)}\.
Passo 1
O enunciado pede várias transformadas de Laplace. Vamos usar:
A igualdade (7.13), que provém de
L\{f''(t)\}(s)=s^{2}F(s)-s f(0)-f'(0),
aplicada a f(t)=\sin\omega t e f(t)=\cos\omega t.
2. A linearidade de L.
3. A transformada de e^{at}:
L\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},
e de \sin bt,\cos bt.
4. A propriedade de funções periódicas.
5. As fórmulas de deslocamento em s para e^{-at}f(t).
6. A fórmula L\{t^n f(t)\}=(-1)^n \frac{d^n}{ds^n}F(s).
Passo 2
Calcular L\{\sin\omega t\} e L\{\cos\omega t\} usando f''(t)=-\omega^2 f(t).
Para f(t)=\sin\omega t, temos f(0)=0 e f'(0)=\omega. Aplicando