Exercício 7.4. Encontre a solução de cada PVI:
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=20 \text { sen } t \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
y'' - 3y' + 2y = 20\sin t,\quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
O plano é: (1) resolver a equação homogênea associada, (2) encontrar uma solução particular por método dos coeficientes indeterminados, (3) somar as soluções e (4) aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0\;\Longrightarrow\;(r-1)(r-2)=0,
logo r=1 ou r=2. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^t + C_2 e^{2t}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular do tipo
y_p(t) = A\sin t + B\cos t.
Calculando derivadas:
y_p' = A\cos t - B\sin t,\quad y_p'' = -A\sin t - B\cos t.
Substituindo em y''-3y'+2y\): \[(-A\sin t - B\cos t) -3\bigl(A\cos t - B\sin t\bigr) +2\bigl(A\sin t + B\cos t\bigr) =(A+3B)\sin t +(-3A+B)\cos t.
Para igualar a 20\sin t+0\cos t, resolvemos
\begin{cases} A + 3B = 20,\\\\ -3A + B = 0. \end{cases}
Da segunda B=3A\]. Substituindo na primeira: \(A+9A=20\Rightarrow A=2, logo B=6. Assim
y_p(t) = 2\sin t + 6\cos t.

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^t + C_2 e^{2t} + 2\sin t + 6\cos t.
Agora aplicamos y(0)=0 e y'(0)=0.

Passo 5

Em t=0\): \[y(0)=C_1 + C_2 + 6 = 0 \;\Longrightarrow\;C_1 + C_2 = -6.
Derivando y:
y'(t)=C_1 e^t +2C_2 e^{2t} +2\cos t -6\sin t,
então em t=0:
y'(0)=C_1 +2C_2 +2 = 0 \;\Longrightarrow\;C_1 +2C_2 = -2.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = -6,\\\ C_1 +2C_2 = -2, \end{cases}
subtraindo obtém-se C_2=4\] e \(C_1=-10.

Resposta

\boxed{y(t) = -10e^t + 4e^{2t} + 2\sin t + 6\cos t.}

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