Exercício 7.4. Encontre a solução de cada PVI:
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=0 \\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=6 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y = 0,
com as condições y(0)=2 e y'(0)=6.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o polinômio característico para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à EDO:
r^2 + 4 = 0.
Resolvendo, obtemos
r = \pm 2i.
Como as raízes são complexas conjugadas 0 \pm 2i, a solução geral é combinação de cosseno e seno.

Passo 3

A solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\cos\bigl(2x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(2x\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos a derivada para aplicar a condição y'(0)=6:
y'(x) = -2\,C_{1}\sin\bigl(2x\bigr) + 2\,C_{2}\cos\bigl(2x\bigr).
Em x=0 temos
y(0) = C_{1}\cdot\cos(0) + C_{2}\cdot\sin(0) = C_{1} = 2,
logo C_{1}=2.
E
y'(0) = -2\,C_{1}\sin(0) + 2\,C_{2}\cos(0) = 2\,C_{2} = 6,
logo C_{2}=3.

Resposta

y(x) = 2\cos\bigl(2x\bigr) + 3\sin\bigl(2x\bigr).

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