Exercício 7.2. Calcule L^{-1}[F(s)], sendo:
F(s)=\frac{3 s-9}{s^{3}+9 s}

Passo 1

O enunciado pede f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)] para
F(s)=\frac{3s-9}{s^3+9s} \;=\;\frac{3s-9}{s\,(s^2+9)}.
Vamos usar frações parciais para decompor F(s) em termos cujas transformadas inversas sejam tabeladas.

Passo 2

Assumimos a forma
\frac{3s-9}{s\,(s^2+9)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs+C}{s^2+9}.
Multiplicando ambos os lados por s\,(s^2+9), obtemos
3s-9 = A\,(s^2+9) + (Bs+C)\,s.

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A\,(s^2+9) + (Bs+C)\,s = A\,s^2 + 9A + B\,s^2 + C\,s = (A+B)\,s^2 + C\,s + 9A.
Igualando coeficientes com 3s-9 = 0\cdot s^2 + 3s -9, vem
A + B = 0, \quad C = 3, \quad 9A = -9.

Passo 4

Da última equação, A=-1. Então B=-A=1 e C=3. A decomposição fica
F(s) = -\frac{1}{s} \;+\;\frac{s+3}{s^2+9} \;=\; -\frac{1}{s} + \frac{s}{s^2+9} + \frac{3}{s^2+9}.

Passo 5

Usando transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\bigl[1/s\bigr]=1,
\mathcal{L}^{-1}\bigl[s/(s^2+a^2)\bigr]=\cos(at),
\mathcal{L}^{-1}\bigl[a/(s^2+a^2)\bigr]=\sin(at).
Aqui a=3, portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\bigl[-\tfrac{1}{s}\bigr] = -1,\quad \mathcal{L}^{-1}\!\bigl[\tfrac{s}{s^2+9}\bigr] = \cos(3t),\quad \mathcal{L}^{-1}\!\bigl[\tfrac{3}{s^2+9}\bigr] = \sin(3t).
Somando,
f(t) = -1 + \cos(3t) + \sin(3t).

Resposta

f(t) = \cos(3t) + \sin(3t) - 1.

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