Exercício 5 Esboce o gráfico das funções abaixo.
(p) f(x)=|\ln (|x|)|

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=\lvert \ln(\lvert x\rvert)\rvert.
O conteúdo envolve: domínio de funções com valor absoluto, estudo de limites para assíntotas, simetria par e definição por partes via valor absoluto.

Passo 2

Vamos determinar domínio, simetria e comportamento nos extremos:
  1. Domínio: \lvert x\rvert>0, ou seja x\neq0.
  2. Simetria: como só aparece \lvert x\rvert e valor absoluto, f é função par: f(-x)=f(x).
  3. Comportamento perto de zero e no infinito: \lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty\quad\Longrightarrow\quad \lvert\ln(x)\rvert\to+\infty,indicando assíntota vertical em x=0. \lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\quad\Longrightarrow\quad \lvert\ln(x)\rvert\to+\infty,sem assíntota horizontal, mas crescimento lento para x\to\pm\infty.

Passo 3

Para esboçar, escrevemos f por partes em x>0 (depois refletimos para x<0):
  • Se 0<x<1 então \ln(x)<0, logo f(x)=\lvert\ln(x)\rvert=-\ln(x).Essa curva parte de +\infty em x\to0^+ e decresce até
    \,-\ln(1)=0 em x=1.
  • Se x\ge1 então \ln(x)\ge0, logo f(x)=\lvert\ln(x)\rvert=\ln(x).Essa curva parte de \ln(1)=0 em x=1 e cresce indefinidamente para +\infty.
    No ponto x=1 temos f(1)=0 e por simetria f(-1)=0.

Passo 4

Agora construímos o esboço completo:
  • Em (0,1), gráfico de y=-\ln(x): cai de +\infty em x=0^+ até 0 em x=1.
  • Em (1,\infty), gráfico de y=\ln(x): sobe de 0 em x=1 até +\infty.
  • Repetimos simetricamente para x<0.
  • Há assíntota vertical x=0 e zeros em x=\pm1.

Resposta

O gráfico de f(x)=\lvert\ln(\lvert x\rvert)\rvert é uma função par com:
  • assíntota vertical em x=0,
  • zeros em x=\pm1,
  • para 0<x<1, ramo decrescente de +\infty a 0 seguindo y=-\ln(x),
  • para x>1, ramo crescente de 0 a +\infty seguindo y=\ln(x),
    e o mesmo espelhado para x<0.

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