Exercício 5 Esboce o gráfico das funções abaixo.
(r) f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\operatorname{sinh} (x)+1 & \text { se } x<0 \\\ \operatorname{cosh} (x-1) & \text { se } x \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função a pedaços
f(x)= \begin{cases} \operatorname{sinh}(x)+1,&x<0,\\\ \operatorname{cosh}(x-1),&x\ge0, \end{cases}
e pede o esboço do gráfico. Vamos usar as propriedades básicas de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}: comportamento em \pm\infty, valores em pontos-chave e concavidade.

Passo 2

Analisando f em x<0:
– Temos f(x)=\operatorname{sinh}(x)+1.
– Como \operatorname{sinh}(x)\to-\infty quando x\to-\infty, segue que f(x)\to-\infty.
– Em x=0 (pela esquerda),
\lim_{x\to0^-}f(x)=\operatorname{sinh}(0)+1=0+1=1,
mas esse ponto fica com círculo aberto em (0,1) porque a definição muda em x=0.
– A derivada f'(x)=\operatorname{cosh}(x)>0 em todo x, logo a curva é crescente para x<0. A segunda derivada f''(x)=\operatorname{sinh}(x)<0 para x<0, logo é côncava para baixo nessa região.

Passo 3

Analisando f em x\ge0:
– Temos f(x)=\operatorname{cosh}(x-1), que é mínimo em x-1=0, isto é, em x=1, valendo
f(1)=\operatorname{cosh}(0)=1.
– Para x\to+\infty, \operatorname{cosh}(x-1)\sim\frac{e^{x-1}}2\to+\infty.
– No ponto x=0,
f(0)=\operatorname{cosh}(-1)=\operatorname{cosh}(1)=\tfrac{e+e^{-1}}2\approx1{,}543,
com círculo fechado em \bigl(0,\operatorname{cosh}(1)\bigr).
– Aqui f'(x)=\operatorname{sinh}(x-1), que é negativo em 0\le x<1 (decrescente) e positivo em x>1 (crescente). A curvatura f''(x)=\operatorname{cosh}(x-1)>0 indica concavidade para cima em toda esta região.

Passo 4

Juntando as duas peças:
– Para x<0 temos uma curva crescente côncava para baixo que passa por (0,1) com ponto aberto.
– Para x\ge0 temos uma curva em “U” (concavidade para cima) que inicia em \bigl(0,\operatorname{cosh}(1)\bigr), atinge o mínimo (1,1) e depois cresce exponencialmente.
– Nota-se descontinuidade de salto em x=0, pois o valor à esquerda é 1 e à direita é \operatorname{cosh}(1)\approx1{,}543.

Resposta

Para esboçar, trace o ramo de \operatorname{sinh}(x)+1 para x<0, passando de -\infty até o ponto aberto (0,1). Em seguida, trace o ramo de \operatorname{cosh}(x-1) para x\ge0, com ponto fechado em \bigl(0,\operatorname{cosh}(1)\bigr), descendo até (1,1) e subindo para +\infty.

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