Exercício 5 Esboce o gráfico das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado define a função a pedaços
e pede o esboço do gráfico. Vamos usar as propriedades básicas de
e
: comportamento em
, valores em pontos-chave e concavidade.
Passo 2
Analisando
em
:
– Temos .
– Como quando
, segue que
.
– Em (pela esquerda),
– Temos
– Como
– Em
mas esse ponto fica com círculo aberto em
porque a definição muda em
.
– A derivada em todo
, logo a curva é crescente para
. A segunda derivada
para
, logo é côncava para baixo nessa região.
– A derivada
Passo 3
Analisando
em
:
– Temos , que é mínimo em
, isto é, em
, valendo
– Temos
– Para
,
.
– No ponto ,
– No ponto
com círculo fechado em
.
– Aqui , que é negativo em
(decrescente) e positivo em
(crescente). A curvatura
indica concavidade para cima em toda esta região.
– Aqui
Passo 4
Juntando as duas peças:
– Para temos uma curva crescente côncava para baixo que passa por
com ponto aberto.
– Para temos uma curva em “U” (concavidade para cima) que inicia em
, atinge o mínimo
e depois cresce exponencialmente.
– Nota-se descontinuidade de salto em , pois o valor à esquerda é
e à direita é
.
– Para
– Para
– Nota-se descontinuidade de salto em
Resposta
Para esboçar, trace o ramo de
para
, passando de
até o ponto aberto
. Em seguida, trace o ramo de
para
, com ponto fechado em
, descendo até
e subindo para
.