Exercicio 9. Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) y^4x^4+y^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(0,0) y^4x^4+y^4.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis, e vamos usar o método de caminhos: se ao aproximar de (0,0) por direções diferentes o limite for diferente, então o limite não existe.

Passo 2

Para ver se o limite depende do caminho, avalio duas direções principais:
  • Na reta y=0, temos
y^4x^4+y^4=0x^4+0=0
  • Na reta x=0, temos
y^4x^4+y^4=y^40+y^4=1

Passo 3

Como o limite ao longo de y=0 é 0 e ao longo de x=0 é 1, os valores são diferentes. Pela teoria de limites em várias variáveis, se existisse um limite único em (0,0), ele seria o mesmo por qualquer caminho.

Passo 4

Portanto, concluímos que o limite não é único e, logo, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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