Exercício 6. Encontre os pontos (x, y) em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
x(t)=t^2-2 t, y(t)=t^3+12 t;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos (x,y) onde a curva paramétrica
x(t)=t^2-2t, y(t)=t^3+12t
tem tangente horizontal e tangente vertical, e também esboçar o gráfico. O conteúdo envolve derivadas paramétricas e o cálculo de
dydx=y'(t)x'(t)
Vamos usar essa razão para identificar horizontais ( y'=0 com x'neq0) e verticais ( x'=0 com y'neq0).

Passo 2

Derivamos em relação a t.
x'(t)=dxdt=2t-2, y'(t)=dydt=3t^2+12

Passo 3

Para tangente horizontal precisamos de y'(t)=0 e x'(t)neq0. Resolvendo
3t^2+12=0Longrightarrow t^2=-4,
não há soluções reais. Logo, não existem tangentes horizontais.

Passo 4

Para tangente vertical precisamos de x'(t)=0 e y'(t)neq0. Resolvendo
2t-2=0Longrightarrow t=1,
e nesse ponto
y'(1)=3cdot1^2+12=15neq0
Portanto há tangente vertical em t=1. O ponto correspondente é
x(1)=1^2-2cdot1=-1, y(1)=1^3+12cdot1=13

Passo 5

Para esboçar a curva, analisamos o comportamento extremo: quando ttopminfty, xto+infty (pois x(t)approx t^2) e ytopminfty (pois y(t)approx t^3). Pontos-chave:
(3,-13) em t=-1, (0,0) em t=0, (-1,13) com tangente vertical em t=1, (0,32) em t=2.
A curva entra de baixo para a direita, sobe atravessando (0,0), alcança (-1,13) com inclinação vertical e depois volta a x>0 seguindo para cima, formando um “S” alongado com um ramo quase vertical em (-1,13).

Resposta

Não há tangentes horizontais.
Há uma tangente vertical no ponto (-1,13).

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