Exercício 6. Encontre os pontos
em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos
onde a curva paramétrica
tem tangente horizontal e tangente vertical, e também esboçar o gráfico. O conteúdo envolve derivadas paramétricas e o cálculo de
Vamos usar essa razão para identificar horizontais (
com
) e verticais (
com
).
Passo 2
Derivamos em relação a
.
Passo 3
Para tangente horizontal precisamos de
e
. Resolvendo
não há soluções reais. Logo, não existem tangentes horizontais.
Passo 4
Para tangente vertical precisamos de
e
. Resolvendo
e nesse ponto
Portanto há tangente vertical em
. O ponto correspondente é
Passo 5
Para esboçar a curva, analisamos o comportamento extremo: quando
,
(pois
) e
(pois
). Pontos-chave:
em
,
em
,
com tangente vertical em
,
em
.
A curva entra de baixo para a direita, sobe atravessando , alcança
com inclinação vertical e depois volta a
seguindo para cima, formando um “S” alongado com um ramo quase vertical em
.
A curva entra de baixo para a direita, sobe atravessando
Resposta
Não há tangentes horizontais.
Há uma tangente vertical no ponto .
Há uma tangente vertical no ponto