Exercício 6. Encontre os pontos (x, y) em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
x(t)=sen 2 t, y(t)=sen t;

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
x(t)=sin(2t), y(t)=sin(t)
e pede os pontos em que a tangente é horizontal (onde tfracdydx=0) e vertical (onde tfracdxdt=0 mas tfracdydtneq0), além de um esboço da curva. Vamos usar derivação de funções paramétricas e analisar as soluções em t.

Passo 2

Calculamos
dydt=cos(t), dxdt=2cos(2t)
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dydx =dydtdxdt =cos(t)2cos(2t)

Passo 3

Tangente horizontal ocorre quando tfracdydx=0, isto é cos(t)=0, com cos(2t)neq0. Em [0,2pi) isso dá
t=pi2,;3pi2,
e em ambos cos(2t)=cos(pi)=-1neq0. Os pontos são
t=pi2implies(x,y)=(sinpi,sintfracpi2)=(0,1),
t=3pi2implies(x,y)=(sin3pi,sintfrac3pi2)=(0,-1)

Passo 4

Tangente vertical ocorre quando tfracdxdt=0, isto é cos(2t)=0, com cos(t)neq0. Em [0,2pi) temos
2t=pi2+kpiimplies t=pi4,;3pi4,;5pi4,;7pi4
Nesses valores cos(t)neq0, então os pontos são
t=pi4implies(x,y)=(sintfracpi2,sintfracpi4)=l(1,tfracraiz22r),
t=3pi4implies(x,y)=l(-1,tfracraiz22r),
t=5pi4implies(x,y)=l(1,-tfracraiz22r),
t=7pi4implies(x,y)=l(-1,-tfracraiz22r)

Passo 5

Para esboçar, note que para t de 0 a pi a curva faz uma alça superior que parte de (0,0), sobe até (0,1) passando por (1,tfracraiz22), volta ao eixo em (0,0); de pi a 2pi faz alça inferior análoga atravessando (0,-1). O gráfico lembra uma “figura-oito” horizontal, simétrica em relação aos eixos.

Resposta

Os pontos de tangente horizontal são
(0,1)e(0,-1)
Os pontos de tangente vertical são
l(1,tfracraiz22r),; l(-1,tfracraiz22r),; l(1,-tfracraiz22r),; l(-1,-tfracraiz22r)
A curva tem duas alças simétricas à volta da origem, formando um “8” deitado.

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