Exercício 6. Encontre os pontos
em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
;
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede os pontos em que a tangente é horizontal (onde
) e vertical (onde
mas
), além de um esboço da curva. Vamos usar derivação de funções paramétricas e analisar as soluções em
.
Passo 2
Calculamos
Logo
Passo 3
Tangente horizontal ocorre quando
, isto é
, com
. Em
isso dá
e em ambos
. Os pontos são
Passo 4
Tangente vertical ocorre quando
, isto é
, com
. Em
temos
Nesses valores
, então os pontos são
Passo 5
Para esboçar, note que para
de
a
a curva faz uma alça superior que parte de
, sobe até
passando por
, volta ao eixo em
; de
a
faz alça inferior análoga atravessando
. O gráfico lembra uma “figura-oito” horizontal, simétrica em relação aos eixos.
Resposta
Os pontos de tangente horizontal são
Os pontos de tangente vertical são
A curva tem duas alças simétricas à volta da origem, formando um “8” deitado.