Questão 1: Encontre a solução do problema de valor inicial (P.V.I.) abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
E a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que é uma forma de reorganizar a equação para integrar cada lado com respeito a uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Olha só:
Podemos fatorar o
no denominador:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
A equação agora está pronta para a separação de variáveis. Vamos escrever
. Agora, vamos colocar todas as partes que têm
de um lado e as que têm
do outro:
Passo 4
Agora, a gente integra os dois lados. Vamos começar pelo lado esquerdo:
No lado direito, temos:
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. A integral fica:
Passo 5
Agora, juntamos as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 6
A próxima etapa é usar a condição inicial para encontrar o valor da constante
. Sabemos que quando
,
. Substituindo esses valores na equação:
Passo 7
Agora que temos o valor de
, substituímos de volta na equação geral:
Para achar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Como a condição inicial nos deu
, vamos escolher a raiz negativa:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: