Questão 1: Encontre a solução do problema de valor inicial (P.V.I.) abaixo:
y^prime=2 xy+x^2 y, y(0)=-2

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
y^prime = 2xy + x^2 y
E a condição inicial é y(0) = -2 . Para resolver isso, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que é uma forma de reorganizar a equação para integrar cada lado com respeito a uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Olha só:
y^prime = 2xy + x^2 y
Podemos fatorar o y no denominador:
y^prime = 2xy(1 + x^2)
Agora, multiplicamos ambos os lados por y para isolar y^prime :
y cdot y^prime = 2x1 + x^2

Passo 3

A equação agora está pronta para a separação de variáveis. Vamos escrever y cdot dydx = 2x1 + x^2 . Agora, vamos colocar todas as partes que têm y de um lado e as que têm x do outro:
y , dy = 2x1 + x^2 , dx

Passo 4

Agora, a gente integra os dois lados. Vamos começar pelo lado esquerdo:
integral y , dy = 12 y^2 + C1
No lado direito, temos:
integral 2x1 + x^2 , dx
Aqui, fazemos uma substituição simples. Seja u = 1 + x^2 , então du = 2x , dx . A integral fica:
integral duu = ln|u| + C2 = ln(1 + x^2) + C2

Passo 5

Agora, juntamos as integrais:
12 y^2 = ln(1 + x^2) + C
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
y^2 = 2 ln(1 + x^2) + C

Passo 6

A próxima etapa é usar a condição inicial para encontrar o valor da constante C . Sabemos que quando x = 0 , y = -2 . Substituindo esses valores na equação:
(-2)^2 = 2 ln(1 + 0^2) + C 4 = 2 ln(1) + C 4 = 0 + C C = 4

Passo 7

Agora que temos o valor de C , substituímos de volta na equação geral:
y^2 = 2 ln(1 + x^2) + 4
Para achar y , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Como a condição inicial nos deu y = -2 , vamos escolher a raiz negativa:
y = -raiz2 ln(1 + x^2) + 4

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y = -raiz2 ln(1 + x^2) + 4

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