Questão 3: Verifique se a equação abaixo é exata:
Passo 1
Beleza, vamos verificar se a equação
é exata. Essa questão faz parte do estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos entender o que é uma equação exata e verificar se essa condição é satisfeita pelos termos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função
tal que
. Isso implica que as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
devem ser iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
e
na equação dada:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada de em relação a
:
Primeiro, a derivada de
Em seguida, a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
Como
, a condição para a equação ser exata é satisfeita.
Resposta
Sim, a equação
é exata.