Questão 3: Verifique se a equação abaixo é exata:
(3 x^2-2 x y+2) d x+(6 y^2-x^2+3) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a equação (3x^2-2xy+2)dx + (6y^2-x^2+3)dy = 0 é exata. Essa questão faz parte do estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos entender o que é uma equação exata e verificar se essa condição é satisfeita pelos termos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é exata se existir uma função F(x,y) tal que dF = Mdx + Ndy. Isso implica que as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x devem ser iguais, ou seja:
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 3

Vamos identificar M(x,y) e N(x,y) na equação dada:
M(x,y) = 3x^2 - 2xy + 2
N(x,y) = 6y^2 - x^2 + 3

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada de M em relação a y:
partial Mpartial y = partialpartial y (3x^2 - 2xy + 2) = -2x
Em seguida, a derivada de N em relação a x:
partial Npartial x = partialpartial x (6y^2 - x^2 + 3) = -2x

Passo 5

Comparamos as duas derivadas parciais que calculamos:
partial Mpartial y = -2x
partial Npartial x = -2x
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a condição para a equação ser exata é satisfeita.

Resposta

Sim, a equação (3x^2-2xy+2)dx + (6y^2-x^2+3)dy = 0 é exata.

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