Exercicio 9. Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2 y^4x^4+y^4

Passo 1

A gente quer saber o que acontece com a função
f(x,y)=x^2y^4x^4+y^4
quando (x,y)to(0,0). O assunto aqui é limite de função de duas variáveis e uma técnica padrão é usar coordenadas polares ou testar vários caminhos até convencer que o limite existe.

Passo 2

Em coordenadas polares, escrevemos
x=rcostheta, y=rsintheta, r>=0,
então
x^2y^4=r^6cos^2theta,sin^4theta e x^4+y^4=r^4(cos^4theta+sin^4theta)
Substituindo em f(x,y) temos
f(r,theta)=r^6cos^2theta,sin^4thetar^4(cos^4theta+sin^4theta) =r^2cdotcos^2theta,sin^4thetacos^4theta+sin^4theta

Passo 3

O fator
g(theta)=cos^2theta,sin^4thetacos^4theta+sin^4theta
é limitado, pois o numerador e o denominador são contínuos e o denominador nunca zera simultaneamente para ângulos reais. Logo existe uma constante M>0 tal que |g(theta)|<= M. Assim
|f(r,theta)|=r^2,|g(theta)|<= M,r^2
Como rto0 implica M,r^2to0, pelo princípio do confronto concluímos que f(r,theta)to0 independentemente de theta, ou seja, o limite existe e vale zero.

Resposta

0

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