Exercicio 9. Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x y cos (x+y)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de \r
x,ycos(x+y)x^2+y^2 \r
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar continuidade de cos e coordenadas polares para verificar se o valor depende da direção de aproximação.

Passo 2

Repare que \r
x,ycos(x+y)x^2+y^2=x,yx^2+y^2;cdot;cos(x+y) \r
Como cos é contínua, temos cos(x+y)tocos(0)=1 quando (x,y)to(0,0). Então o comportamento do limite é dado por \r
x,yx^2+y^2 \r
quando (x,y)to(0,0).

Passo 3

Para estudar \r
onde fixa a direção. Substituindo, \r
\r
Então \r

Passo 4

Ao fazer rto0 com theta fixo, cosl(r(costheta+sintheta)r)to1. Logo o limite ao longo da direção theta é \r
costhetasintheta=tfrac12sin(2theta), \r
que varia com theta. Por exemplo:\r
  • para theta=pi/4 (reta y=x) obtemos tfrac12,\r
  • para theta=-pi/4 (reta y=-x) obtemos -tfrac12. \r
    Como valores diferentes aparecem em diferentes direções, o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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