1. Problema
Utilizando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=raizx, x=0 e y=2, em torno do eixo x, é dada por 8 pi.
Verdadeiro Falso

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos deu um problema sobre calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pelas curvas y = raizx , x = 0 e y = 2 em torno do eixo x , usando o método das cascas cilíndricas. A pergunta é se o volume desse sólido é igual a 8pi . Vamos revisar o que precisamos para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas y = raizx e x = 0 (que é o eixo y ) se encontram quando y = raiz0 , ou seja, no ponto (0,0). A linha horizontal y = 2 corta a curva y = raizx quando 2 = raizx , ou seja, em x = 4 . Então, nossa região está entre y = 0 e y = 2 , e de x = 0 a x = 4 .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando estamos girando em torno de um eixo paralelo ao eixo das variáveis. A ideia é “envolver” a região em cascas cilíndricas fininhas e somar o volume de todas elas.
A fórmula para o volume usando cascas cilíndricas em torno do eixo x é:
V = 2pi integrala^b y cdot f(y) , dy
Aqui, y é a distância do eixo de rotação (no caso, o eixo x ), e f(y) é a largura da casca na direção y .

Passo 4

Vamos identificar os limites de integração e a função f(y) . Nossa região vai de y = 0 até y = 2 , então a = 0 e b = 2 .
A curva y = raizx pode ser reescrita como x = y^2 . Isso significa que, para um determinado y , a largura da casca f(y) é desde x = 0 até x = y^2 , então:
f(y) = y^2 - 0 = y^2

Passo 5

Agora, vamos substituir na fórmula do volume:
V = 2pi integral0^2 y cdot y^2 , dy = 2pi integral0^2 y^3 , dy

Passo 6

Vamos integrar y^3 de 0 a 2:
integral y^3 , dy = y^44 + C
Aplicando os limites:
[ y^44 ]0^2 = 2^44 - 0^44 = 164 - 0 = 4

Passo 7

Multiplicando pelo 2pi :
V = 2pi cdot 4 = 8pi

Resposta

Verdadeiro! O volume do sólido é de fato 8pi .

Exercícios relacionados