- Problema
Utilizando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
, em torno do eixo
, é dada por
.
Verdadeiro Falso
Verdadeiro Falso
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu um problema sobre calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo
, usando o método das cascas cilíndricas. A pergunta é se o volume desse sólido é igual a
. Vamos revisar o que precisamos para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas
e
(que é o eixo
) se encontram quando
, ou seja, no ponto (0,0). A linha horizontal
corta a curva
quando
, ou seja, em
. Então, nossa região está entre
e
, e de
a
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando estamos girando em torno de um eixo paralelo ao eixo das variáveis. A ideia é “envolver” a região em cascas cilíndricas fininhas e somar o volume de todas elas.
A fórmula para o volume usando cascas cilíndricas em torno do eixo
é:
Aqui,
é a distância do eixo de rotação (no caso, o eixo
), e
é a largura da casca na direção
.
Passo 4
Vamos identificar os limites de integração e a função
. Nossa região vai de
até
, então
e
.
A curva
pode ser reescrita como
. Isso significa que, para um determinado
, a largura da casca
é desde
até
, então:
Passo 5
Agora, vamos substituir na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos integrar
de 0 a 2:
Aplicando os limites:
Passo 7
Multiplicando pelo
:
Resposta
Verdadeiro! O volume do sólido é de fato
.