Exercício 4: Calcule os limites no infinito das funções:
7. lim x infty(2^x+3^x)^1x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyl(2^x+3^xr)^1x
O conteúdo principal é o estudo de limites no infinito envolvendo somas de funções exponenciais e a ideia de dominância de termos, além do uso de logaritmo para manipular potências.

Passo 2

Note que em 2^x+3^x o termo 3^x cresce mais rápido que 2^x. Então fatoramos 3^x da soma:
2^x+3^x =3^xl((2/3)^x+1r)

Passo 3

Aplicamos a propriedade de potência:
l(2^x+3^xr)^1x =l[3^xl((2/3)^x+1r)r]^1x =3cdotl((2/3)^x+1r)^1x

Passo 4

Para estudar
limxtoinftyl((2/3)^x+1r)^1/x,
usamos logaritmo e a exponencial inversa. Defina
Ax = l((2/3)^x+1r)^1x
Então
ln Ax = 1xlnl(1+(2/3)^xr)

Passo 5

Como (2/3)^xto0 quando xtoinfty, temos para x grande
lnl(1+(2/3)^xr)sim (2/3)^x
Logo
ln Ax sim (2/3)^xx,longrightarrow0,
ou seja Axto e^0=1.

Passo 6

Voltando à expressão original,
l(2^x+3^xr)^1x =3cdot Ax longrightarrow 3cdot1=3

Resposta

limxtoinftyl(2^x+3^xr)^1x=3

Exercícios relacionados