Questão 3 Considere a matriz real A dada por:
A=(cccc 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 0 1 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & 0 & 1 )
(a) Escreva A como produto de matrizes elementares;
(b) Determine a matriz A^-1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 0 1 & 0 & 0 & -3 0 & 0 & 0 & 1
e pede (a) escrevê-la como produto de matrizes elementares (ou seja, as matrizes que realizam operações elementares sobre as linhas de I), e (b) determinar A^-1. Vamos usar operações de linha para obter A a partir de I e depois inverter essas operações para achar A^-1.

Passo 2

Começamos com I4 e aplicamos três operações de linha que geram A. Cada operação corresponde a uma matriz elementar:
  1. Trocar a linha 1 com a linha 3. Isso é
E1= 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1
  1. Subtrair 2 vezes a nova linha 1 da linha 2:
E2= 1 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
  1. Subtrair 3 vezes a linha 4 da linha 3:
E3= 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -3 0 & 0 & 0 & 1
Aplicando na ordem IlongrightarrowE1longrightarrowE2E1longrightarrowE3E2E1, obtemos
A = E3,E2,E1

Passo 3

Para achar A^-1 usamos que
A^-1 = l(E3E2E1r)^-1 = E1^-1,E2^-1,E3^-1
Como
E1^-1=E1, E2^-1= 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , E3^-1= 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 ,
temos
A^-1 ;=; E1,E2^-1,E3^-1

Passo 4

Fazendo o produto
E2^-1E3^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 = 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 ,
e em seguida
A^-1 =E1, 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 = 0 & 0 & 1 & 3 2 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Resposta

(a)
A = E3,E2,E1, E1= 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , ; E2= 1 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , ; E3= 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -3 0 & 0 & 0 & 1
(b)
A^-1 = 0 & 0 & 1 & 3 2 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Exercícios relacionados