Resolva as seguintes equações, onde m e n são constantes positivas.
y^prime+m y=e^-n x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + m,y = e^-n x,
onde m e n são constantes positivas. O método que vamos usar é o fator integrante, que transforma essa EDO num produto cuja derivada é fácil de integrar.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral m,dx = e^m x
Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
e^m xy' + m,e^m xy = e^m xe^-n x

Passo 3

O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y,e^m x. Logo,
ddxl(y,e^m xr) = e^(m-n)x

Passo 4

Integramos ambos os lados em x. Há dois casos a considerar:
Caso 1: m neq n.
integral e^(m-n)x,dx = e^(m-n)xm-n + C
Caso 2: m = n.
integral e^0cdot x,dx = integral 1,dx = x + C

Passo 5

Voltando a y,e^m x e isolando y:
Para m neq n:
y,e^m x = e^(m-n)xm-n + C Longrightarrow y(x) = e^-n xm-n + C,e^-m x
Para m = n:
y,e^m x = x + C Longrightarrow y(x) = e^-m xl(x + Cr)

Resposta

Se m neq n,
y(x) = e^-n xm - n + C,e^-m x
Se m = n,
y(x) = e^-m x,l(x + Cr)

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