4 (2) Verifique se os itens abaixo são verdadeiros ou falso. Caso verdadeiro justifique em no máximo 3 linhas. Caso falso, dê um contra-exemplo.
(a) Se A é uma matriz quadrada real de ordem n, isto é, A in Mn times n(R), então
det(3 A)=3 det(A)
(b) Se A é uma matriz quadrada real de ordem n com A^2=A, então A=I ou A=0.

Passo 1

Temos dois itens para verificar. O item (a) envolve a propriedade de escala do determinante para AinMntimes n(R). O item (b) trata de matrizes idempotentes, ou seja, A^2=A.

Passo 2

Para (a), vale a propriedade
det(cA)=c^ndet(A)
Logo det(3A)=3^ndet(A), que só coincide com 3det(A) se n=1, mas falha para n>1.

Passo 3

Contraexemplo para (a): em M2times2(R) tome A=I2. Então
det(3I2)=9 mas 3det(I2)=3, logo a igualdade é falsa.

Passo 4

Contraexemplo para (b): em M2times2(R) considere
A=1&00&0
Temos A^2=A mas Aneq I2 e Aneq 0.

Resposta

(a) Falso.
(b) Falso.

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