Exercício 4. Calcule a medida do ângulo entre os vetores v e w sabendo-se que: a medida do ângulo entre u e v é pi8 rad,|u|=|w|=5 e|v|=1, |u-v+w|=|u+u+w|.

Passo 1

O enunciado dá três vetores vec u,vec v,vec w tais que
|vec u|=|vec w|=5, |vec v|=1 e o ângulo entre vec u e vec v vale pi/8.
A condição é
|vec u - vec v + vec w| ;=;|vec u + vec v + vec w|
Queremos achar o ângulo phi entre vec v e vec w.

Passo 2

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados e usar a identidade | a|^2= acdot a.
Primeiro,
|vec u - vec v + vec w|^2 =l(vec u - vec v + vec wr)!cdot!l(vec u - vec v + vec wr) = |vec u|^2+|vec v|^2+|vec w|^2 +2l(-vec ucdotvec v+vec ucdotvec w-vec vcdotvec wr)
Como |vec u|^2=25, |vec v|^2=1, |vec w|^2=25, isso dá
|vec u - vec v + vec w|^2 = 51 -2,vec ucdotvec v +2,vec ucdotvec w -2,vec vcdotvec w
Em seguida,
|vec u + vec v + vec w|^2 = |vec u|^2+|vec v|^2+|vec w|^2 +2l(vec ucdotvec v+vec ucdotvec w+vec vcdotvec wr) =51+2,vec ucdotvec v+2,vec ucdotvec w+2,vec vcdotvec w
Igualando os dois quadrados:
51 -2,vec ucdotvec v +2,vec ucdotvec w -2,vec vcdotvec w =51 +2,vec ucdotvec v+2,vec ucdotvec w+2,vec vcdotvec w
Cancelam-se 51 e 2,vec ucdotvec w, sobrando
-2,vec ucdotvec v -2,vec vcdotvec w =2,vec ucdotvec v+2,vec vcdotvec w Longrightarrow vec ucdotvec v + vec vcdotvec w = 0

Passo 3

Sabemos que
vec ucdotvec v = |vec u|;|vec v|cos(pi/8) =5cdot1cdotcos!l(tfracpi8r) =5cos!l(tfracpi8r)
Da relação vec ucdotvec v + vec vcdotvec w=0 obtemos
vec vcdotvec w = -,vec ucdotvec v =-5cos!l(tfracpi8r)

Passo 4

O cosseno do ângulo phi entre vec v e vec w é
cosphi =vec vcdotvec w|vec v||vec w| =-5cos(pi/8)1cdot5 =-cos!l(tfracpi8r)
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phi=arccosl(-cos(tfracpi8)r) =pi-pi8 =7pi8

Resposta

A medida do ângulo entre vec v e vec w é 7pi8.

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