Resolva as seguintes equações:
a) An, 2An, 3+An, 3 times(n-4)!Pn=-32

Passo 1

Neste exercício, vamos resolver uma equação que envolve arranjos ( An,k) e permutações ( Pn). Para isso, precisamos entender como expressar essas quantidades usando fatoriais e aplicar propriedades da álgebra para encontrar o valor de n .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as definições de arranjos e permutações:
  • Arranjo de n elementos tomados k a k :
An,k = n!(n - k)!
  • Permutação de n elementos:
Pn = n!
Essas fórmulas nos permitem expressar An,2 , An,3 e Pn em termos de fatoriais.

Passo 3

Vamos substituir essas definições na equação dada:
An,2An,3 + An,3 times (n-4)!Pn = -32
Substituindo An,2 = n!(n-2)! , An,3 = n!(n-3)! e Pn = n! :
n!(n-2)!n!(n-3)! + n!(n-3)! times (n-4)!n! = -32

Passo 4

Vamos simplificar cada termo separadamente.
Para o primeiro termo:
n!(n-2)!n!(n-3)! = n!(n-2)! times (n-3)!n! = (n-3)!(n-2)! = 1n-2
Para o segundo termo:
n!(n-3)! times (n-4)!n! = n! times (n-4)!(n-3)! times n! = (n-4)!(n-3)! = 1n-3
Então, a equação fica:
1n-2 + 1n-3 = -32

Passo 5

Vamos somar as duas frações do lado esquerdo:
1n-2 + 1n-3 = (n-3) + (n-2)(n-2)(n-3) = 2n -5(n-2)(n-3)
Substituindo na equação:
2n -5(n-2)(n-3) = -32

Passo 6

Para resolver, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2(n-2)(n-3) para eliminar as frações:
2(2n -5) = -3(n-2)(n-3)
Expandindo os termos:
4n -10 = -3(n^2 -5n +6)
Distribuindo o -3:
4n -10 = -3n^2 +15n -18

Passo 7

Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
3n^2 -11n +8 =0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
n = 11 pm raiz121 -966 = 11 pm raiz256 = 11 pm56
Assim, temos duas soluções:
  1. n = 166 = 83 (aproximadamente 2,666)
  2. n = 66 = 1

Resposta

Não há valor inteiro de n que satisfaça a equação dada.

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