Resolva as seguintes equações:
a)
a)
Passo 1
Neste exercício, vamos resolver uma equação que envolve arranjos (
) e permutações (
). Para isso, precisamos entender como expressar essas quantidades usando fatoriais e aplicar propriedades da álgebra para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as definições de arranjos e permutações:
- Arranjo de
elementos tomados a :
- Permutação de
elementos:
Essas fórmulas nos permitem expressar
,
e
em termos de fatoriais.
Passo 3
Vamos substituir essas definições na equação dada:
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo separadamente.
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos somar as duas frações do lado esquerdo:
Substituindo na equação:
Passo 6
Para resolver, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar as frações:
Expandindo os termos:
Distribuindo o
:
Passo 7
Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
-
(aproximadamente 2,666) -
Resposta
Não há valor inteiro de
que satisfaça a equação dada.