Exercício 5: Calcule os seguintes divergentes: \vec{\nabla} \cdot \vec{r}, \vec{\nabla} \cdot \hat{z}, \vec{\nabla} \cdot(z \hat{z}).

Passo 1

O enunciado pede para calcular os divergentes dos campos vetoriais em coordenadas cartesianas: \vec{r}, \hat{z} e z\,\hat{z}. Para isso, vamos usar a definição do divergente de um campo \vec{F}=(F_x,F_y,F_z):
\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}.

Passo 2

Para \vec{r} = x\,\hat{x} + y\,\hat{y} + z\,\hat{z} temos F_x = x, F_y = y, F_z = z. Logo,
\nabla\cdot\vec{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.

Passo 3

Para \hat{z} o campo vetorial é constante e igual a (0,0,1). Ou seja, F_x=0, F_y=0, F_z=1. Então,
\nabla\cdot\hat{z} = \frac{\partial 0}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 1}{\partial z} = 0 + 0 + 0 = 0.

Passo 4

Para z\,\hat{z} o campo é (0,0,z), ou seja, F_x=0, F_y=0, F_z = z. Assim,
\nabla\cdot(z\,\hat{z}) = \frac{\partial 0}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 0 + 0 + 1 = 1.

Resposta

\nabla\cdot\vec{r} = 3 \nabla\cdot\hat{z} = 0 \nabla\cdot(z\,\hat{z}) = 1

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