Obtenção da Equação Característica: Soluções para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes são frequentemente exponenciais. Proponha uma solução de teste da forma q(t)=e^{\lambda t}. Calcule as derivadas primeira e segunda de q(t) em relação ao tempo e substitua-as na equação diferencial padrão. Após a substituição, simplifique a expressão para encontrar a equação característica para a variável \lambda.
O que você deve obter: Ao final deste passo, você deve chegar à seguinte equação algébrica, conhecida como equação característica do sistema:
\lambda^{2}+\frac{R}{L} \lambda+\frac{1}{L C}=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente derive a equação característica de uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, que no caso de um circuito RLC série é
q''(t) + \frac{R}{L}\,q'(t) + \frac{1}{L\,C}\,q(t) = 0.
O que vamos usar é a ideia de tentar uma solução exponencial, porque essas equações “gostam” de e^{\lambda t}.

Passo 2

Proponho a solução de teste
q(t) = e^{\lambda t}.
Então a primeira derivada é
q'(t) = \lambda\,e^{\lambda t},
e a segunda derivada é
q''(t) = \lambda^{2}\,e^{\lambda t}.

Passo 3

Substituindo q(t), q'(t) e q''(t) na equação diferencial, vem
\lambda^{2} e^{\lambda t} +\frac{R}{L}\,\lambda e^{\lambda t} +\frac{1}{L\,C}\,e^{\lambda t} =0.

Passo 4

Como e^{\lambda t} nunca é zero, podemos dividir toda a expressão por ele, sobrando
\lambda^{2} +\frac{R}{L}\,\lambda +\frac{1}{L\,C} =0,
que é exatamente a equação característica do sistema.

Resposta

\lambda^{2} + \frac{R}{L}\,\lambda + \frac{1}{L\,C} = 0.

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