Exercício 7: Mostre que
\begin{aligned} & \vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} f)=\partial_{x}^{2} f+\partial_{y}^{2} f+\partial_{z}^{2} f=\left(\partial_{x}^{2}+\partial_{y}^{2}+\partial_{z}^{2}\right) f, \\\ & \vec{\nabla} \times(\vec{\nabla} f)=0, \\\ & \vec{\nabla} \cdot(\vec{\nabla} \times \vec{A})=0 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para provar três identidades de cálculo vetorial envolvendo o operador nabla \vec{\nabla}:
  1. \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}f)=\partial_x^2f+\partial_y^2f+\partial_z^2f.
  2. \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}f)=\vec{0}.
  3. \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A})=0.
Vamos usar as definições de gradiente, divergência e rotacional em coordenadas cartesianas, e a comutatividade das derivadas parciais mistas.

Passo 2

Definimos em coordenadas cartesianas:
O gradiente de um escalar f(x,y,z) é
\vec{\nabla}f = \bigl(\partial_x f,\;\partial_y f,\;\partial_z f\bigr).
A divergência de um campo vetorial \vec{F} = (F_x,F_y,F_z) é
\vec{\nabla}\cdot\vec{F} = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z.
O rotacional (curl) de \vec{F} é
\vec{\nabla}\times\vec{F} = \Bigl(\partial_y F_z - \partial_z F_y,\;\partial_z F_x - \partial_x F_z,\;\partial_x F_y - \partial_y F_x\Bigr).

Passo 3

Para \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}f) aplicamos a definição de divergência ao vetor \vec{\nabla}f:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}f) = \partial_x\bigl(\partial_x f\bigr) + \partial_y\bigl(\partial_y f\bigr) + \partial_z\bigl(\partial_z f\bigr) = \partial_x^2 f + \partial_y^2 f + \partial_z^2 f.
Isso coincide exatamente com a definição do laplaciano \nabla^2 f.

Passo 4

Para \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}f) examinamos cada componente:
componente x: \partial_y(\partial_z f)-\partial_z(\partial_y f).
Mas como as derivadas parciais comutam \partial_y\partial_z f = \partial_z\partial_y f, cada diferença é zero.
O mesmo vale para as componentes y e z.
Logo
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}f) = \vec{0}.

Passo 5

Para \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A}) aplicamos definição de divergência ao rotacional:
\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A}) = \partial_x\bigl(\partial_y A_z - \partial_z A_y\bigr) + \partial_y\bigl(\partial_z A_x - \partial_x A_z\bigr) + \partial_z\bigl(\partial_x A_y - \partial_y A_x\bigr).
Reagrupando, cada termo é da forma \partial_i\partial_j A_k somado a -\partial_j\partial_i A_k. Pela comutatividade \partial_i\partial_j = \partial_j\partial_i, cada par cancela, resultando em zero.

Resposta

\displaystyle \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}f)=\partial_x^2f+\partial_y^2f+\partial_z^2f,\quad \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}f)=\vec{0},\quad \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{A})=0.

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