Exercício 7: Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para provar três identidades de cálculo vetorial envolvendo o operador nabla
:
-
. -
. -
.
Vamos usar as definições de gradiente, divergência e rotacional em coordenadas cartesianas, e a comutatividade das derivadas parciais mistas.
Passo 2
Definimos em coordenadas cartesianas:
O gradiente de um escalar é
O gradiente de um escalar
A divergência de um campo vetorial
é
O rotacional (curl) de
é
Passo 3
Para
aplicamos a definição de divergência ao vetor
:
Isso coincide exatamente com a definição do laplaciano
.
Passo 4
Para
examinamos cada componente:
componente :
.
Mas como as derivadas parciais comutam , cada diferença é zero.
O mesmo vale para as componentes e
.
Logo
componente
Mas como as derivadas parciais comutam
O mesmo vale para as componentes
Logo
Passo 5
Para
aplicamos definição de divergência ao rotacional:
Reagrupando, cada termo é da forma
somado a
. Pela comutatividade
, cada par cancela, resultando em zero.