Exercício 1: Calcule as seguintes integrais:
integral cos ^5 2 x sen^2 / 5 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos^5(2x) cdot sin^25(2x) , dx. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas com expoentes fracionários. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Podemos reescrever a integral como:
integral cos^5(2x) cdot sin^0.4(2x) , dx
Isso torna mais claro que temos potências de seno e cosseno envolvidas.

Passo 3

Vamos usar a técnica de substituição, que é uma maneira de simplificar a integral mudando a variável. Vamos definir:
u = sin(2x)
Então, a derivada de u em relação a x é:
du = 2 cos(2x) , dx Rightarrow dx = du2 cos(2x)

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de u. Substituindo u = sin(2x) e dx = du2 cos(2x), temos:
integral cos^5(2x) cdot u^0.4 cdot du2 cos(2x) = 12 integral cos^4(2x) cdot u^0.4 , du

Passo 5

Sabemos que cos^4(2x) pode ser escrito como (cos^2(2x))^2 e usando a identidade trigonométrica cos^2(2x) = 1 - sin^2(2x), substituímos:
12 integral (1 - u^2)^2 cdot u^0.4 , du

Passo 6

Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Então, a integral fica:
12 integral (1 - 2u^2 + u^4) cdot u^0.4 , du

Passo 7

Distribuindo u^0.4 dentro dos parênteses:
12 integral (u^0.4 - 2u^2.4 + u^4.4) , du

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
12 ( u^1.41.4 - 2 cdot u^3.43.4 + u^5.45.4 ) + C
Simplificando os coeficientes:
12 ( u^1.41.4 - 2u^3.43.4 + u^5.45.4 ) + C

Passo 9

Agora, substituímos u = sin(2x) de volta na expressão:
12 ( sin^1.4(2x)1.4 - 2 sin^3.4(2x)3.4 + sin^5.4(2x)5.4 ) + C

Resposta

A integral integral cos^5(2x) cdot sin^25(2x) , dx é igual a:
12 ( sin^1.4(2x)1.4 - 2 sin^3.4(2x)3.4 + sin^5.4(2x)5.4 ) + C
onde C é a constante de integração.

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