Exercício 1: Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas com expoentes fracionários. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Podemos reescrever a integral como:
Isso torna mais claro que temos potências de seno e cosseno envolvidas.
Passo 3
Vamos usar a técnica de substituição, que é uma maneira de simplificar a integral mudando a variável. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
. Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Sabemos que
pode ser escrito como
e usando a identidade trigonométrica
, substituímos:
Passo 6
Agora, vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Distribuindo
dentro dos parênteses:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Simplificando os coeficientes:
Passo 9
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.