Um sólido está contido no cilindro
, abaixo do plano
e acima do paraboloide
. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distancia do ponto ao eixo z. Determine a massa do sólido.
[
\left(V=\frac{28 \sqrt{2} \pi k}{5} \mathrm{~m}^{3}\right)
\left(V=\frac{28 \sqrt{2} \pi k}{5} \mathrm{~m}^{3}\right)
Passo 1
O exercício pede a massa de um sólido que está dentro do cilindro
, limitado acima pelo plano
e abaixo pelo paraboloide
. A densidade em cada ponto é proporcional à distância ao eixo
, ou seja,
. Para resolver, vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas e lembrar que o elemento de volume é
.
Passo 2
Passamos para coordenadas cilíndricas:
,
. O cilindro vira
, o paraboloide torna-se
e o plano continua
. Logo os limites são
Passo 3
Escrevemos a massa como integral tripla da densidade vezes o elemento de volume. Como
e
, temos
Passo 4
Fazendo a integral em
primeiro:
Então
Passo 5
Agora calculamos a integral em
:
Multiplicando por