Um sólido está contido no cilindro x^2+y^2=2, abaixo do plano z=5 e acima do paraboloide z=2-x^2-y^2. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distancia do ponto ao eixo z. Determine a massa do sólido.
[
\left(V=\frac{28 \sqrt{2} \pi k}{5} \mathrm{~m}^{3}\right)

Passo 1

O exercício pede a massa de um sólido que está dentro do cilindro x^2+y^2=2, limitado acima pelo plano z=5 e abaixo pelo paraboloide z=2 - x^2 - y^2. A densidade em cada ponto é proporcional à distância ao eixo z, ou seja, de. Para resolver, vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas e lembrar que o elemento de volume é dV=r,dz,dr,dtheta.

Passo 2

Passamos para coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta. O cilindro vira r=raiz2, o paraboloide torna-se z=2-r^2 e o plano continua z=5. Logo os limites são
0<=theta<=2pi, 0<= r<=raiz2, 2-r^2<= z<=5

Passo 3

Escrevemos a massa como integral tripla da densidade vezes o elemento de volume. Como de e dV=r,dz,dr,dtheta, temos
m=integral0^2piintegral0^raiz2integral2-r^2^5k,rcdot r,dz,dr,dtheta = kintegral0^2piintegral0^raiz2integral2-r^2^5r^2,dz,dr,dtheta

Passo 4

Fazendo a integral em z primeiro:
integral2-r^2^5r^2,dz = r^2l(5-(2-r^2)r) = r^2(3+r^2)
Então
m = kintegral0^2pidthetaintegral0^raiz2r^2(3+r^2),dr = 2pi kintegral0^raiz2(3r^2+r^4),dr

Passo 5

Agora calculamos a integral em r:
integral0^raiz2(3r^2+r^4),dr = l[r^3+tfracr^55r]0^raiz2 = (2raiz2) + tfrac4raiz25 = tfrac14raiz25
Multiplicando por 2pi k, obtemos
m = 2pi k cdot tfrac14raiz25 = tfrac28raiz2pi k5

Resposta

tfrac28raiz2pi k5

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