Exercício 7. Calcule as seguintes integrais:
(a) \int x \ln (x) d x
(b) \int x \operatorname{sec} ^{2}(x) d x
(c) \int x \cos (5 x) d x
(d) \int x^{3} e^{x} d x
(e) \int_{0}^{1} x 2^{x} d x
(f) \int \operatorname{sen}(\sqrt{x}) d x
Passo 1
O enunciado pede que se calculem as seguintes integrais:
(a) \displaystyle \int x \ln(x)\,dx
(b) \displaystyle \int x \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx
(c) \displaystyle \int x \cos(5x)\,dx
(d) \displaystyle \int x^{3} e^{x}\,dx
(e) \displaystyle \int_{0}^{1} x\,2^{x}\,dx
(f) \displaystyle \int \operatorname{sen}(\sqrt{x})\,dx
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: cada item é uma integral a ser calculada; em (e) é uma integral definida com limites 0 e 1. Nenhuma figura ou outra informação extra foi dada.
Passo 2
Ferramentas principais que vamos usar (explicadas de forma didática):
Fórmula de integração por partes. É a versão do produto para integrais — útil quando integrando produto de funções. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função escolhida para ser derivada (gera du) e dv é escolhida para ser integrada (gera v). A escolha de u costuma seguir a regra prática “LIATE” (Log, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential) — isto é, geralmente escolhe-se u entre essas categorias na ordem dada — mas o mais importante é que du fique mais simples que u e que seja fácil integrar dv.
Substituição simples. Se aparece uma composição tipo \sin(\sqrt{x}) é comum fazer t=\sqrt{x}, converter tudo em termos de t e integrar.
Para integrar a^{x} (com a>0) vale
\int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C,
pois derivando \frac{a^{x}}{\ln a} obtém-se a^{x}.
Agora aplicamos essas ferramentas item a item.
Passo 3
(a) Calcular \displaystyle \int x \ln(x)\,dx.
Escolha para integração por partes: \;u=\ln(x) (fica mais simples ao derivar) e \;dv=x\,dx (fácil de integrar).
\int x\cos(5x)\,dx = \frac{x}{5}\sin(5x) + \frac{1}{25}\cos(5x) + C.
Passo 6
(d) Calcular \displaystyle \int x^{3} e^{x}\,dx.
Para potências vezes e^{x} é prático aplicar integrações por partes repetidas (ou o método tabular). Faço repetidas aplicações com \;u sendo a parte polinomial.
\int \operatorname{sen}(\sqrt{x})\,dx = -2\sqrt{x}\cos(\sqrt{x}) + 2\sin(\sqrt{x}) + C.
Também se pode fatorar 2:
\int \operatorname{sen}(\sqrt{x})\,dx = 2\bigl(\sin(\sqrt{x})-\sqrt{x}\cos(\sqrt{x})\bigr) + C.
Passo 9
Resumo rápido de verificação mental (dicas para a prova): para produtos do tipo polinômio vezes função elementar, partes é quase sempre eficiente; para \sin(\sqrt{x}) ou \cos(\sqrt{x}) pense em t=\sqrt{x} e depois em partes se aparecer um fator t. Respira, revisa cada derivada/integração usada e confere sinais — os erros mais comuns são sinais errados em integrais de \sin e \cos ou esquecer o termo +C em primitivas.