Exercício 7. Calcule as seguintes integrais:
(a) \int x \ln (x) d x
(b) \int x \operatorname{sec} ^{2}(x) d x
(c) \int x \cos (5 x) d x
(d) \int x^{3} e^{x} d x
(e) \int_{0}^{1} x 2^{x} d x
(f) \int \operatorname{sen}(\sqrt{x}) d x

Passo 1

O enunciado pede que se calculem as seguintes integrais:
(a) \displaystyle \int x \ln(x)\,dx
(b) \displaystyle \int x \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx
(c) \displaystyle \int x \cos(5x)\,dx
(d) \displaystyle \int x^{3} e^{x}\,dx
(e) \displaystyle \int_{0}^{1} x\,2^{x}\,dx
(f) \displaystyle \int \operatorname{sen}(\sqrt{x})\,dx
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: cada item é uma integral a ser calculada; em (e) é uma integral definida com limites 0 e 1. Nenhuma figura ou outra informação extra foi dada.

Passo 2

Ferramentas principais que vamos usar (explicadas de forma didática):
  1. Fórmula de integração por partes. É a versão do produto para integrais — útil quando integrando produto de funções. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função escolhida para ser derivada (gera du) e dv é escolhida para ser integrada (gera v). A escolha de u costuma seguir a regra prática “LIATE” (Log, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential) — isto é, geralmente escolhe-se u entre essas categorias na ordem dada — mas o mais importante é que du fique mais simples que u e que seja fácil integrar dv.
  1. Substituição simples. Se aparece uma composição tipo \sin(\sqrt{x}) é comum fazer t=\sqrt{x}, converter tudo em termos de t e integrar.
  2. Para integrar a^{x} (com a>0) vale
\int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C,
pois derivando \frac{a^{x}}{\ln a} obtém-se a^{x}.
Agora aplicamos essas ferramentas item a item.

Passo 3

(a) Calcular \displaystyle \int x \ln(x)\,dx.
Escolha para integração por partes: \;u=\ln(x) (fica mais simples ao derivar) e \;dv=x\,dx (fácil de integrar).
Então:
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Aplicando a fórmula
\int x\ln(x)\,dx = uv - \int v\,du = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando a integral restante:
\int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}.
Portanto
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{x^{2}}{4} + C.

Passo 4

(b) Calcular \displaystyle \int x \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Escolha para integração por partes: \;u=x e \;dv=\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx. Então
du=dx,\qquad v=\int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx=\tan(x).
Aplicando a fórmula:
\int x\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = x\tan(x) - \int \tan(x)\,dx.
Agora \displaystyle \int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C (uma primitiva padrão). Assim
\int x\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = x\tan(x) + \ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.
Nota: também se pode escrever +\ln|\cos x| = -\ln|\operatorname{sec} x|, escolha pessoal.

Passo 5

(c) Calcular \displaystyle \int x \cos(5x)\,dx.
Novamente partes com \;u=x e \;dv=\cos(5x)\,dx. Então
du=dx,\qquad v=\int \cos(5x)\,dx=\frac{1}{5}\sin(5x).
Aplicando:
\int x\cos(5x)\,dx = x\cdot\frac{1}{5}\sin(5x) - \int \frac{1}{5}\sin(5x)\,dx.
A integral de \sin(5x) é -\frac{1}{5}\cos(5x), então
- \int \frac{1}{5}\sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cdot\left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right)=\frac{1}{25}\cos(5x).
Logo
\int x\cos(5x)\,dx = \frac{x}{5}\sin(5x) + \frac{1}{25}\cos(5x) + C.

Passo 6

(d) Calcular \displaystyle \int x^{3} e^{x}\,dx.
Para potências vezes e^{x} é prático aplicar integrações por partes repetidas (ou o método tabular). Faço repetidas aplicações com \;u sendo a parte polinomial.
Defina I_{3}=\int x^{3}e^{x}\,dx. Faça:
u=x^{3},\quad dv=e^{x}\,dx\quad\Rightarrow\quad du=3x^{2}\,dx,\quad v=e^{x}.
Logo
I_{3}=x^{3}e^{x}-\int 3x^{2}e^{x}\,dx = x^{3}e^{x}-3I_{2},
onde I_{2}=\int x^{2}e^{x}\,dx.
Agora compute I_{2} por partes:
u=x^{2},\quad dv=e^{x}\,dx\quad\Rightarrow\quad du=2x\,dx,\quad v=e^{x},
I_{2}=x^{2}e^{x}-\int 2x e^{x}\,dx = x^{2}e^{x}-2I_{1},
onde I_{1}=\int x e^{x}\,dx.
Calcule I_{1}:
u=x,\quad dv=e^{x}\,dx\quad\Rightarrow\quad du=dx,\quad v=e^{x},
I_{1}=x e^{x}-\int e^{x}\,dx = x e^{x}-e^{x}=e^{x}(x-1).
Substitua em I_{2}:
I_{2}=x^{2}e^{x}-2e^{x}(x-1)=e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr).
Substitua em I_{3}:
I_{3}=x^{3}e^{x}-3e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr) = e^{x}\bigl(x^{3}-3x^{2}+6x-6\bigr) + C.
(Colocou-se +C na primitiva final.)

Passo 7

(e) Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x\,2^{x}\,dx.
Usamos integração por partes em forma definida. Tome \;u=x e \;dv=2^{x}\,dx. Então
du=dx,\qquad v=\int 2^{x}\,dx=\frac{2^{x}}{\ln 2}.
A fórmula de partes definida é
\int_{0}^{1} u\,dv = \bigl[u v\bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} v\,du.
Portanto
\int_{0}^{1} x\,2^{x}\,dx = \left[\frac{x\,2^{x}}{\ln 2}\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2^{x}}{\ln 2}\,dx.
Calcule cada termo: o primeiro
\left[\frac{x\,2^{x}}{\ln 2}\right]_{0}^{1} = \frac{1\cdot 2^{1}}{\ln 2} - \frac{0\cdot 2^{0}}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2}.
O segundo é
\int_{0}^{1} \frac{2^{x}}{\ln 2}\,dx = \frac{1}{\ln 2}\int_{0}^{1}2^{x}\,dx = \frac{1}{\ln 2}\left[\frac{2^{x}}{\ln 2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{(\ln 2)^{2}}\bigl(2^{1}-2^{0}\bigr) = \frac{1}{(\ln 2)^{2}}.
Assim
\int_{0}^{1} x\,2^{x}\,dx = \frac{2}{\ln 2} - \frac{1}{(\ln 2)^{2}}.
Pode-se deixar essa forma ou escrever com denominador comum:
\int_{0}^{1} x\,2^{x}\,dx = \frac{2\ln 2 - 1}{(\ln 2)^{2}}.

Passo 8

(f) Calcular \displaystyle \int \operatorname{sen}(\sqrt{x})\,dx.
Primeiro faça a substituição t=\sqrt{x}. Então x=t^{2} e dx=2t\,dt. A integral vira
\int \operatorname{sen}(\sqrt{x})\,dx = \int \operatorname{sen}(t)\cdot 2t\,dt = 2\int t\sin(t)\,dt.
Agora aplicamos integração por partes ao integrando t\sin(t). Escolha \;u=t e \;dv=\sin(t)\,dt. Então
du=dt,\qquad v=\int \sin(t)\,dt = -\cos(t).
Aplicando:
\int t\sin(t)\,dt = -t\cos(t) - \int (-\cos(t))\,dt = -t\cos(t) + \int \cos(t)\,dt.
\int t\sin(t)\,dt = -t\cos(t) + \sin(t) + C.
Multiplicando por 2 (lembrando que a substituição trouxe fator 2):
\int \operatorname{sen}(\sqrt{x})\,dx = 2\bigl(-t\cos(t)+\sin(t)\bigr)+C.
Voltando a x com t=\sqrt{x}:
\int \operatorname{sen}(\sqrt{x})\,dx = -2\sqrt{x}\cos(\sqrt{x}) + 2\sin(\sqrt{x}) + C.
Também se pode fatorar 2:
\int \operatorname{sen}(\sqrt{x})\,dx = 2\bigl(\sin(\sqrt{x})-\sqrt{x}\cos(\sqrt{x})\bigr) + C.

Passo 9

Resumo rápido de verificação mental (dicas para a prova): para produtos do tipo polinômio vezes função elementar, partes é quase sempre eficiente; para \sin(\sqrt{x}) ou \cos(\sqrt{x}) pense em t=\sqrt{x} e depois em partes se aparecer um fator t. Respira, revisa cada derivada/integração usada e confere sinais — os erros mais comuns são sinais errados em integrais de \sin e \cos ou esquecer o termo +C em primitivas.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{x^{2}}{2}\ln(x)-\frac{x^{2}}{4}+C
(b) \displaystyle x\tan(x)+\ln\bigl|\cos(x)\bigr|+C
(c) \displaystyle \frac{x}{5}\sin(5x)+\frac{1}{25}\cos(5x)+C
(d) \displaystyle e^{x}\bigl(x^{3}-3x^{2}+6x-6\bigr)+C
(e) \displaystyle \frac{2}{\ln 2}-\frac{1}{(\ln 2)^{2}}=\frac{2\ln 2-1}{(\ln 2)^{2}}
(f) \displaystyle -2\sqrt{x}\cos(\sqrt{x})+2\sin(\sqrt{x})+C

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