Nos Exercícios 11 a 14, determine o(s) valor(es) de h que torna os vetores linearmente dependentes. Justifique cada resposta.
\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -2 \\\\ 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}4 \\\\ -6 \\\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 2 \\\ h\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_1 = \begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 4\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}4\\\ -6\\\ 7\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}-2\\\ 2\h\end{pmatrix},
e pede os valores de h que tornam esses vetores linearmente dependentes. O critério que vamos usar é que três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes se, e somente se, o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores é zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são v_1, v_2 e v_3:
A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2\\\\ -2 & -6 & 2\\\\ 4 & 7 & h \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A e impomos que ele seja zero:
\det(A) = 2\begin{vmatrix}-6 & 2\\\ 7 & h\end{vmatrix} -4\begin{vmatrix}-2 & 2\\\ 4 & h\end{vmatrix} +(-2)\begin{vmatrix}-2 & -6\\\ 4 & 7\end{vmatrix}.
Agora, cada menor:
\begin{vmatrix}-6 & 2\\\ 7 & h\end{vmatrix} = -6h - 14,\quad \begin{vmatrix}-2 & 2\\\ 4 & h\end{vmatrix} = -2h - 8,\quad \begin{vmatrix}-2 & -6\\\ 4 & 7\end{vmatrix} = -14 + 24 = 10.

Passo 4

Substituindo esses valores:
\det(A) = 2(-6h - 14) -4(-2h - 8) -2\cdot 10 = -12h -28 +8h +32 -20 = -4h -16.
Para dependência linear precisamos de \det(A)=0, logo
-4h -16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad h = -4.

Resposta

O valor de h que torna os três vetores linearmente dependentes é -4.

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