Exercício 2.1.3. Calcule os seguintes limites das seguintes sequências:
d) \lim \frac{1+2 n}{\sqrt{4 n^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando n\to\infty, da sequência cujo termo geral é
a_n=\frac{1+2n}{\sqrt{4n^{2}-1}}.
Informações relevantes dadas:
\text{termo: }a_n=\frac{1+2n}{\sqrt{4n^{2}-1}},\qquad n\in\mathbb{N},\qquad n\to\infty.
Não há outras condições ocultas; a raiz quadrada no denominador é bem definida e positiva para n\ge1.

Passo 2

Observação útil para resolver limites de quocientes: quando numerador e denominador crescem com n (aqui ambos têm ordem de grandeza proporcional a n), é comum dividir numerador e denominador por n (ou fatorar n adequadamente) para ver o comportamento assintótico. Primeiro vamos reescrever o termo fatorando n do numerador e n^2 debaixo da raiz no denominador:
\frac{1+2n}{\sqrt{4n^{2}-1}}=\frac{n\left(\frac{1}{n}+2\right)}{\sqrt{n^{2}\left(4-\frac{1}{n^{2}}\right)}}.

Passo 3

Agora usamos a propriedade da raiz: para n>0 temos \sqrt{n^{2}}=n. Como trabalhamos com n\in\mathbb{N} e n\to\infty, essa igualdade é válida e podemos simplificar:
\frac{n\left(\frac{1}{n}+2\right)}{\sqrt{n^{2}\left(4-\frac{1}{n^{2}}\right)}}=\frac{n\left(\frac{1}{n}+2\right)}{n\sqrt{4-\frac{1}{n^{2}}}}=\frac{\frac{1}{n}+2}{\sqrt{4-\frac{1}{n^{2}}}}.

Passo 4

Vamos tomar o limite de cada parte que aparece no quociente. Sabemos as seguintes propriedades básicas de limites:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.
A função x\mapsto\sqrt{x} é contínua em (0,\infty), logo podemos passar o limite para dentro da raiz:
\lim_{n\to\infty}\sqrt{4-\frac{1}{n^{2}}}=\sqrt{\lim_{n\to\infty}\left(4-\frac{1}{n^{2}}\right)}=\sqrt{4}=2.

Passo 5

Aplicando esses limites ao quociente obtido no Passo 3, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}+2}{\sqrt{4-\frac{1}{n^{2}}}}=\frac{\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+2\right)}{\lim_{n\to\infty}\sqrt{4-\frac{1}{n^{2}}}}=\frac{0+2}{2}=1.
Essa é a conclusão do cálculo do limite.

Resposta

1

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