Exercício 2.1.3. Calcule os seguintes limites das seguintes sequências:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede o limite, quando
, da sequência cujo termo geral é
Informações relevantes dadas:
Não há outras condições ocultas; a raiz quadrada no denominador é bem definida e positiva para
.
Passo 2
Observação útil para resolver limites de quocientes: quando numerador e denominador crescem com
(aqui ambos têm ordem de grandeza proporcional a
), é comum dividir numerador e denominador por
(ou fatorar
adequadamente) para ver o comportamento assintótico. Primeiro vamos reescrever o termo fatorando
do numerador e
debaixo da raiz no denominador:
Passo 3
Agora usamos a propriedade da raiz: para
temos
. Como trabalhamos com
e
, essa igualdade é válida e podemos simplificar:
Passo 4
Vamos tomar o limite de cada parte que aparece no quociente. Sabemos as seguintes propriedades básicas de limites:
A função
é contínua em
, logo podemos passar o limite para dentro da raiz:
Passo 5
Aplicando esses limites ao quociente obtido no Passo 3, temos
Essa é a conclusão do cálculo do limite.