Exercício 2.4.2. As seguintes séries diverge ou converge? Justifique.
b) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{e^{k}}{k}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{e^{k}}{k}
e pergunta se ela converge ou diverge. Informação relevante fornecida:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_k=\frac{e^{k}}{k}.
  • A soma é feita para k=1,2,3,\dots.
  • Não há outras restrições no enunciado.
    O objetivo é decidir convergência ou divergência e justificar.

Passo 2

Fato importante que vamos usar (teste necessário para convergência): se a série
\sum_{k=1}^{\infty} a_k
converge, então o termo geral satisfaz
\lim_{k\to\infty} a_k = 0.
Explicação curta e intuitiva: se os somatórios parciais S_n=\sum_{k=1}^n a_k têm limite finito S, então a diferença a_n=S_n-S_{n-1} tem de tender a 0 quando n\to\infty, caso contrário os incrementos não se anulam e a soma não estabiliza. Esse teste é apenas necessário (não suficiente): se a_k\not\to 0 a série diverge; se a_k\to0 a série pode convergir ou divergir e aí precisamos de outros testes.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do termo geral \displaystyle a_k=\frac{e^{k}}{k} quando k\to\infty. Um jeito direto e elementar é olhar a razão entre termos sucessivos:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{e^{\,k+1}/(k+1)}{e^{k}/k} = e\cdot\frac{k}{k+1}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a_k é o k-ésimo termo da sequência de termos da série,
  • e é a base do logaritmo natural (aprox. 2{,}71828\ldots),
  • k é o índice inteiro que tende a infinito.
Note que para todo k\ge 1 temos \displaystyle\frac{k}{k+1}\ge\frac{1}{2}. Portanto, para todo k\ge1,
\frac{a_{k+1}}{a_k} \ge e\cdot\frac{1}{2} = \frac{e}{2}.
Como \displaystyle\frac{e}{2}>1, isso mostra que os termos crescem pelo menos com um fator fixo maior que 1 a cada passo. Mais precisamente, por indução obtemos
a_k \ge a_1\left(\frac{e}{2}\right)^{k-1}.
Como \displaystyle\frac{e}{2}>1, o fator \left(\frac{e}{2}\right)^{k-1} cresce exponencialmente, logo a_k\to +\infty quando k\to\infty. Em particular \lim_{k\to\infty} a_k não é 0; é +\infty.
(Alternativa curta: visto que e>2, já temos e^k\ge 2^k, então \displaystyle a_k=\frac{e^k}{k}\ge\frac{2^k}{k}, e \frac{2^k}{k}\to\infty. Mesmo raciocínio: termo não tende a zero.)

Passo 4

Aplicando o teste necessário citado no Passo 2: como \displaystyle\lim_{k\to\infty} a_k\neq 0 (na verdade diverge para +\infty), a série
\sum_{k=1}^{\infty} a_k=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{e^{k}}{k}
não pode convergir. Portanto a série diverge.

Passo 5

Comentário final curto e motivador: a intuição é simples — o numerador e^k cresce exponencialmente e isso vence qualquer divisor polinomial como k. Em provas, ao ver um termo com b^k (com b>1) no numerador e apenas um fator polinomial no denominador, é quase sempre o caso de o termo não ir a zero e a série divergir; verificar \lim a_k ou a razão entre termos costuma ser suficiente e rápido.

Resposta

A série diverge.

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