Exercício 2.4.2. As seguintes séries diverge ou converge? Justifique.
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pergunta se ela converge ou diverge. Informação relevante fornecida:
- O termo geral da série é
. - A soma é feita para
. - Não há outras restrições no enunciado.
O objetivo é decidir convergência ou divergência e justificar.
Passo 2
Fato importante que vamos usar (teste necessário para convergência): se a série
converge, então o termo geral satisfaz
Explicação curta e intuitiva: se os somatórios parciais
têm limite finito
, então a diferença
tem de tender a
quando
, caso contrário os incrementos não se anulam e a soma não estabiliza. Esse teste é apenas necessário (não suficiente): se
a série diverge; se
a série pode convergir ou divergir e aí precisamos de outros testes.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento do termo geral
quando
. Um jeito direto e elementar é olhar a razão entre termos sucessivos:
Aqui cada símbolo significa:
-
é o -ésimo termo da sequência de termos da série, -
é a base do logaritmo natural (aprox. ), -
é o índice inteiro que tende a infinito.
Note que para todo
temos
. Portanto, para todo
,
Como
, isso mostra que os termos crescem pelo menos com um fator fixo maior que
a cada passo. Mais precisamente, por indução obtemos
Como
, o fator
cresce exponencialmente, logo
quando
. Em particular
não é
; é
.
(Alternativa curta: visto que
, já temos
, então
, e
. Mesmo raciocínio: termo não tende a zero.)
Passo 4
Aplicando o teste necessário citado no Passo 2: como
(na verdade diverge para
), a série
não pode convergir. Portanto a série diverge.
Passo 5
Comentário final curto e motivador: a intuição é simples — o numerador
cresce exponencialmente e isso vence qualquer divisor polinomial como
. Em provas, ao ver um termo com
(com
) no numerador e apenas um fator polinomial no denominador, é quase sempre o caso de o termo não ir a zero e a série divergir; verificar
ou a razão entre termos costuma ser suficiente e rápido.
Resposta
A série diverge.