Exercício 1. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{4}+x}{x^{3}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^{4}+x}{x^{3}+2x}.
O conteúdo aqui envolve limites de funções racionais e uso de fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm fator comum x. Fatorando, temos
x^{4}+x = x\,(x^{3}+1), \qquad x^{3}+2x = x\,(x^{2}+2).

Passo 3

Para x\neq 0, podemos cancelar o fator x e obter a função equivalente
\frac{x^{4}+x}{x^{3}+2x} = \frac{x\,(x^{3}+1)}{x\,(x^{2}+2)} = \frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}\,.
Como a função \frac{x^{3}+1}{x^{2}+2} é contínua em x=0 (o denominador em 0 vale 2\neq 0), basta substituir x=0.

Passo 4

Fazendo x=0 na expressão simplificada, obtemos
\frac{0^{3}+1}{0^{2}+2} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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