QUESTÃO 06: (COM GABARITO ABAIXO)

Se tomarmos f(x, y)=1 na definição da integral dupla sobre uma região R obtemos:
A) O ponto de inércia de uma região limitada R.
B) A densidade de uma região limitada R.
C) o volume de uma região sólida fechada e limitada R.
D) A área de uma região plana fechada e limitada R.

Passo 1

O enunciado define a função f(x,y)=1 e pede o que representa a integral dupla
\iint_{R}1\,\mathrm{d}A.
O conteúdo aqui é o de integração dupla em cálculo de várias variáveis, e vamos usar sua interpretação geométrica.

Passo 2

Em geral, para uma função f(x,y) contínua em uma região R do plano xy, vale que
\iint_{R}f(x,y)\,\mathrm{d}A
é o volume sob o gráfico de z=f(x,y) acima de R.

Passo 3

Ao tomar f(x,y)=1, o gráfico é o plano z=1. O volume sob esse plano sobre a região R tem altura constante igual a 1 e base igual à área de R. Logo,
\iint_{R}1\,\mathrm{d}A = (\text{área de }R)\times 1 = \text{área}(R).áá

Passo 4

Portanto, integrar f(x,y)=1 sobre R nos dá exatamente a área da região plana fechada e limitada R, correspondente à alternativa (D).

Resposta

(D) A área de uma região plana fechada e limitada R.

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