Exercício 1. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{3-\sqrt{x+5}}{x-4}

Passo 1

O enunciado pede para computar
\lim_{x\to4}\frac{3-\sqrt{x+5}}{x-4}.
O conteúdo aqui é cálculo de limites envolvendo indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} e a técnica de racionalização para eliminar a raiz do numerador.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=4:
\text{numerador} = 3 - \sqrt{4+5} = 3 - 3 = 0, \qquad \text{denominador} = 4 - 4 = 0,
logo temos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 3+\sqrt{x+5}:
\frac{3-\sqrt{x+5}}{x-4}\,\cdot\, \frac{3+\sqrt{x+5}}{3+\sqrt{x+5}} = \frac{9 - (x+5)}{(x-4)\,(3+\sqrt{x+5})} = \frac{4 - x}{(x-4)\,(3+\sqrt{x+5})}.
Como 4 - x = -\,(x-4), isso simplifica para
-\frac{x-4}{(x-4)\,(3+\sqrt{x+5})} = -\frac{1}{3+\sqrt{x+5}}.

Passo 4

Agora o limite deixa de ser indeterminado e basta substituir x=4 em
-\frac{1}{3+\sqrt{x+5}}\,,
obtendo
-\frac{1}{3+\sqrt{4+5}} = -\frac{1}{3+3} = -\frac{1}{6}.

Resposta

-\frac{1}{6}.

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