Exercício 1. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x^{3}+8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -2}\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x^3+8}.
O conteúdo aqui é limite de função racional, envolvendo soma de cubos e simplificação de frações.

Passo 2

No numerador, somamos \tfrac{1}{x} e \tfrac{1}{2} em denominateur comum:
\frac{1}{x} + \frac{1}{2} = \frac{2 + x}{2x}.

Passo 3

Fatoramos o denominador usando soma de cubos:
x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4).
Então a expressão original vira
\frac{\frac{2+x}{2x}}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{2+x}{2x\,(x+2)(x^2 - 2x + 4)}.
Como 2+x = x+2, cancelamos esse fator e obtemos
\frac{1}{2x\,(x^2 - 2x + 4)}.

Passo 4

Avaliamos em x=-2. Primeiro
x^2 - 2x + 4\Bigm|_{x=-2} = 4 + 4 + 4 = 12.
Então
2x\,(x^2 - 2x + 4)\Bigm|_{x=-2} = 2\cdot(-2)\cdot12 = -48,
e por fim
\frac{1}{2x\,(x^2 - 2x + 4)}\Bigm|_{x=-2} = -\frac{1}{48}.

Resposta

-\frac{1}{48}

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