Exercício 1. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{(x-1)^2}.
O conteúdo é cálculo de limites com indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar a fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Verificamos diretamente substituindo x=1:
\text{numerador}=1^3-1=0, \quad \text{denominador}=(1-1)^2=0,
logo temos indeterminação \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Fatoramos x^3-1 como diferença de cubos:
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).
Substituindo na fração,
\frac{x^3-1}{(x-1)^2} =\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)^2} =\frac{x^2+x+1}{x-1}.

Passo 4

Quando x\to1, o numerador x^2+x+1\to3>0 e o denominador x-1\to0 com sinal que depende de x-1, mas como está ao quadrado na forma original o quociente cresce sem limite para valores próximos de 1 de ambos os lados. Portanto
\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{(x-1)^2}=+\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados