QUESTÃO 02:
Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide
e acima da região
do plano
limitada pela reta
e pela parábola
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido abaixo do paraboloide
e acima da região
no plano
limitada pela reta
e pela parábola
.
O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas.
O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, identificamos a região
projetada no plano
. As curvas se intersectam quando
logo
ou
. Para
temos
então em cada
,
varia de
até
.
Passo 3
O volume é dado por
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Simplificando,
logo o integrando em
fica
Passo 5
Agora integramos em
de
a
:
Simplificando os coeficientes:
então
Passo 6
Avalia em
:
Logo