QUESTÃO 02:

Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z=x^{2}+y^{2} e acima da região D do plano x y limitada pela reta y=2 x e pela parábola y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido abaixo do paraboloide
z = x^{2} + y^{2}
e acima da região D no plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x^{2}.
O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, identificamos a região D projetada no plano xy. As curvas se intersectam quando
x^{2} = 2x \quad\Longrightarrow\quad x(x - 2) = 0
logo x = 0 ou x = 2. Para x\in[0,2] temos
x^{2} \le 2x,
então em cada x\in[0,2], y varia de y_{\text{inf}} = x^{2} até y_{\text{sup}} = 2x.

Passo 3

O volume é dado por
V = \iint_{D} \bigl(x^{2} + y^{2}\bigr)\,dA = \int_{x=0}^{2} \int_{y=x^{2}}^{2x} \bigl(x^{2} + y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em y:
\int_{y=x^{2}}^{2x} \bigl(x^{2} + y^{2}\bigr)\,dy = \Bigl[x^{2}y + \tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{y=x^{2}}^{2x} = x^{2}(2x - x^{2}) + \frac{(2x)^{3} - (x^{2})^{3}}{3}.
Simplificando,
x^{2}(2x - x^{2}) = 2x^{3} - x^{4}, \quad \frac{(2x)^{3} - (x^{2})^{3}}{3} = \frac{8x^{3} - x^{6}}{3},
logo o integrando em x fica
2x^{3} - x^{4} + \frac{8x^{3}}{3} - \frac{x^{6}}{3} = \frac{14}{3}x^{3} - x^{4} - \frac{1}{3}x^{6}.

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 2:
V = \int_{0}^{2} \Bigl(\tfrac{14}{3}x^{3} - x^{4} - \tfrac{1}{3}x^{6}\Bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{14}{3}\cdot\tfrac{x^{4}}{4} - \tfrac{x^{5}}{5} - \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{x^{7}}{7}\Bigr]_{0}^{2}.
Simplificando os coeficientes:
\tfrac{14}{3}\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{6}, \quad \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{7} = \tfrac{1}{21},
então
V = \Bigl[\tfrac{7}{6}x^{4} - \tfrac{x^{5}}{5} - \tfrac{x^{7}}{21}\Bigr]_{0}^{2}.

Passo 6

Avalia em x=2:
\tfrac{7}{6}\cdot 2^{4} = \tfrac{7}{6}\cdot16 = \tfrac{56}{3}, \quad \tfrac{2^{5}}{5} = \tfrac{32}{5}, \quad \tfrac{2^{7}}{21} = \tfrac{128}{21}.
Logo
V = \frac{56}{3} - \frac{32}{5} - \frac{128}{21} = \frac{1960 - 672 - 640}{105} = \frac{648}{105} = \frac{216}{35}.

Resposta

\boxed{V = \frac{216}{35}}.

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