QUESTÃO 01:

Calcule \iint_{R} y \operatorname{sen}(x y) d A, onde R=[1,2] \times[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y\,\operatorname{sen}(xy)\,dA
em R=[1,2]\times[0,\pi]. Como R é um retângulo, vamos aplicar o Teorema de Fubini para escrever
\iint_{R} y\,\operatorname{sen}(xy)\,dA =\int_{y=0}^{\pi}\!\!\int_{x=1}^{2}y\,\operatorname{sen}(xy)\,dx\,dy.
Precisaremos usar a primitivação de \operatorname{sen}(xy) em x e depois integrar em y.

Passo 2

Calculamos primeiro a integral interna em x:
\int_{x=1}^{2}y\,\operatorname{sen}(xy)\,dx.
Como y é constante em relação a x, podemos fatorar y e usar
\int \operatorname{sen}(xy)\,dx = -\frac{\cos(xy)}{y}.
Logo,
\int_{1}^{2}y\,\operatorname{sen}(xy)\,dx =y\left[-\frac{\cos(xy)}{y}\right]_{x=1}^{x=2} =\bigl[-\cos(xy)\bigr]_{1}^{2} =\bigl(-\cos(2y)\bigr)-\bigl(-\cos(y)\bigr) =\cos(y)-\cos(2y).

Passo 3

Substituindo no integral em y, temos
\iint_{R} y\,\operatorname{sen}(xy)\,dA =\int_{0}^{\pi}\bigl[\cos(y)-\cos(2y)\bigr]dy.
Agora usamos as primitivas \int\cos(y)\,dy=\sin(y) e \int\cos(2y)\,dy=\tfrac12\sin(2y):
\int_{0}^{\pi}\cos(y)\,dy =\bigl[\sin(y)\bigr]_{0}^{\pi} =\sin(\pi)-\sin(0)=0,
\int_{0}^{\pi}\cos(2y)\,dy =\frac12\bigl[\sin(2y)\bigr]_{0}^{\pi} =\frac12\bigl(\sin(2\pi)-\sin(0)\bigr)=0.
Portanto,
\int_{0}^{\pi}\bigl[\cos(y)-\cos(2y)\bigr]dy =0-0=0.

Resposta

O valor da integral é 0.

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