Exercício 1. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}.
O conteúdo aqui é limite de função racional com fatoração de polinômios e análise de limites laterais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos numerador e denominador:
x^{2}+x-2 = (x-1)(x+2), \qquad x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
Para x\neq1 e x\neq-1, podemos simplificar o fator comum (x-1), obtendo
\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1} = \frac{x+2}{x+1}.

Passo 3

Agora, ao nos aproximarmos de x=-1, o numerador \;x+2\to 1
é positivo e o denominador \;x+1\to 0,
indicando que a fração cresce em módulo até o infinito, mas seu sinal depende da direção de aproximação.

Passo 4

Analisando os limites laterais:
  • Para x\to -1^{-}, tem-se x+1<0, logo o denominador é negativo e a fração tende a -\infty.
  • Para x\to -1^{+}, tem-se x+1>0, logo o denominador é positivo e a fração tende a +\infty.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes -\infty e +\infty, o limite em x=-1 não existe no sentido clássico.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1} não existe.

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