Exercício 2.1.1. Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotonicidade de cada uma delas.
d) x_{n}=\frac{n}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência \,x_{n}=\frac{n}{n+1} é limitada e é monótona, e ainda descrever que tipo de monotonicidade ela tem (crescente estrita, não decrescente, decrescente, etc.).\n
Informações dadas: a sequência é definida por \,x_{n}=\frac{n}{n+1} para n inteiro positivo (assumimos n\in\mathbb{N}, n\ge1).\n
O que devemos provar: (i) existe um intervalo [m,M] tal que m\le x_n\le M para todo n (limitação); (ii) determinar se x_{n+1}\ge x_n para todo n (monotonicidade) ou x_{n+1}\le x_n, e indicar se é estrita quando couber.

Passo 2

Definição e estratégia para mostrar que a sequência é limitada.\n
Uma sequência \,(x_n) é limitada se existem números reais \,m e \,M tais que \,m\le x_n\le M para todo n. A forma mais direta é encontrar uma cota inferior e uma cota superior simples para \,x_n.\n
Começamos mostrando que \,x_n é sempre positiva e menor que \,1.\n
Como n é inteiro positivo, temos \,n>0. Portanto \,x_n=\frac{n}{n+1}>0, pois numerador e denominador são positivos.\n
Além disso, para todo n vale \,n<n+1. Dividindo ambos os lados por \,n+1>0 obtemos \,\frac{n}{n+1}<1. Logo \,0<\frac{n}{n+1}<1 para todo n.\n
Conclusão parcial: a sequência é limitada com cota inferior m=0 e cota superior M=1.

Passo 3

Exemplo numérico rápido para intuir o comportamento (ajuda didática).\n
Calculemos alguns termos: \,x_1=\frac{1}{2}, \,x_2=\frac{2}{3}, \,x_3=\frac{3}{4}, \,x_4=\frac{4}{5}. Esses valores mostram que a sequência cresce de \,\tfrac{1}{2} em diante e se aproxima de \,1. Isso sugere que a sequência é crescente e limitada acima por \,1.

Passo 4

Definição de monotonicidade e estratégia para provar monotonicidade por comparação de termos consecutivos.\n
Uma sequência é (estritamente) crescente se, para todo n, \,x_{n+1}>x_n. Para provar isso de forma direta, calculamos a diferença \,x_{n+1}-x_n e verificamos o seu sinal.\n
Calculemos:
x_{n+1}-x_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}.
Para somar/subtrair frações, colocamos denominador comum \,(n+1)(n+2). Então:
x_{n+1}-x_n=\frac{(n+1)(n+1)-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}.
Agora desenvolvemos os numeradores passo a passo:
(n+1)(n+1)=(n+1)^2=n^2+2n+1,
n(n+2)=n^2+2n.
Subtraindo:
(n+1)^2-n(n+2)=(n^2+2n+1)-(n^2+2n)=1.
Portanto:
x_{n+1}-x_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}.
Como (n+1)(n+2)>0 para todo n\ge1, concluímos que \,x_{n+1}-x_n>0 para todo n. Ou seja, a sequência é estritamente crescente.

Passo 5

Observação alternativa (intuição e outra forma de provar) e interpretação.\n
Outra escrita útil é \,x_n=1-\frac{1}{n+1}. A função n\mapsto\frac{1}{n+1} é estritamente decrescente quando n aumenta, portanto \,1-\frac{1}{n+1} é estritamente crescente. Isso dá a mesma conclusão de forma mais direta e também explica por que \,x_n tende para \,1 (embora o enunciado não peça o limite, essa observação ajuda a entender o comportamento).

Passo 6

Resumo e conclusão final lógica baseada nos passos anteriores.\n
Mostramos que para todo n vale \,0< x_n<1, portanto a sequência é limitada. Mostramos também que \,x_{n+1}-x_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0 para todo n, logo a sequência é estritamente crescente. Essas duas propriedades resolvem o que foi pedido.\n

Resposta

A sequência \,x_{n}=\frac{n}{n+1} é limitada e estritamente crescente; \,0<x_n<1 para todo n.

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