Exercício 2.1.1. Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotonicidade de cada uma delas.
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
é limitada e é monótona, e ainda descrever que tipo de monotonicidade ela tem (crescente estrita, não decrescente, decrescente, etc.).\n
Informações dadas: a sequência é definida por para
inteiro positivo (assumimos
,
).\n
O que devemos provar: (i) existe um intervalo tal que
para todo
(limitação); (ii) determinar se
para todo
(monotonicidade) ou
, e indicar se é estrita quando couber.
Informações dadas: a sequência é definida por
O que devemos provar: (i) existe um intervalo
Passo 2
Definição e estratégia para mostrar que a sequência é limitada.\n
Uma sequência é limitada se existem números reais
e
tais que
para todo
. A forma mais direta é encontrar uma cota inferior e uma cota superior simples para
.\n
Começamos mostrando que é sempre positiva e menor que
.\n
Como é inteiro positivo, temos
. Portanto
, pois numerador e denominador são positivos.\n
Além disso, para todo vale
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
. Logo
para todo
.\n
Conclusão parcial: a sequência é limitada com cota inferior e cota superior
.
Uma sequência
Começamos mostrando que
Como
Além disso, para todo
Conclusão parcial: a sequência é limitada com cota inferior
Passo 3
Exemplo numérico rápido para intuir o comportamento (ajuda didática).\n
Calculemos alguns termos: ,
,
,
. Esses valores mostram que a sequência cresce de
em diante e se aproxima de
. Isso sugere que a sequência é crescente e limitada acima por
.
Calculemos alguns termos:
Passo 4
Definição de monotonicidade e estratégia para provar monotonicidade por comparação de termos consecutivos.\n
Uma sequência é (estritamente) crescente se, para todo ,
. Para provar isso de forma direta, calculamos a diferença
e verificamos o seu sinal.\n
Calculemos:
Uma sequência é (estritamente) crescente se, para todo
Calculemos:
Para somar/subtrair frações, colocamos denominador comum
. Então:
Agora desenvolvemos os numeradores passo a passo:
Subtraindo:
Portanto:
Como
para todo
, concluímos que
para todo
. Ou seja, a sequência é estritamente crescente.
Passo 5
Observação alternativa (intuição e outra forma de provar) e interpretação.\n
Outra escrita útil é . A função
é estritamente decrescente quando
aumenta, portanto
é estritamente crescente. Isso dá a mesma conclusão de forma mais direta e também explica por que
tende para
(embora o enunciado não peça o limite, essa observação ajuda a entender o comportamento).
Outra escrita útil é
Passo 6
Resumo e conclusão final lógica baseada nos passos anteriores.\n
Mostramos que para todo vale
, portanto a sequência é limitada. Mostramos também que
para todo
, logo a sequência é estritamente crescente. Essas duas propriedades resolvem o que foi pedido.\n
Mostramos que para todo
Resposta
A sequência
é limitada e estritamente crescente;
para todo
.