Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
o ponto em que avaliamos o limite é
, e há o fator oscilante
. Não foi permitido usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro fato importante sobre o cosseno: para todo número real
vale
Aplicando isso com
(para
) obtemos
Agora observe o fator
. Como
e
para todo
, esse quociente é sempre não negativo:
Multiplicando a desigualdade
por
(fator não negativo) preservamos as desigualdades e obtemos, para
,
Passo 3
Agora vamos estudar o limite das funções que aparecem nos lados da desigualdade:
e
quando
. Note que
implica
, então
Como sabemos que
pela desigualdade acima segue que
Portanto os limites laterais são
Passo 4
Aplicamos agora o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze theorem): se uma função
satisfaz
em torno de um ponto e
, então
. No nosso caso
,
,
e ambos
e
têm limite
quando
. Pelo teorema do confronto obtemos
Passo 5
Comentário didático rápido (para fixar): o truque usado é muito comum quando aparece uma função oscilante limitada (como
ou
) multiplicada por um fator que vai a zero. Exemplos parecidos e úteis para a prova são
porque usamos exatamente a mesma ideia de limitar a oscilação entre
e
e aplicar o teorema do confronto.
Resposta
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