Exercício 1. Calcule os seguintes limites (sem usar a Regra de L’Hôspital):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{x^{4}+1} \cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{x^{4}+1}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{função } f(x)=\frac{x^{2}}{x^{4}+1}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\quad\text{(definida para }x\neq0\text{)},çã
o ponto em que avaliamos o limite é x\to0, e há o fator oscilante \cos\!\left(\frac{1}{x}\right). Não foi permitido usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro fato importante sobre o cosseno: para todo número real t vale
-1 \le \cos(t) \le 1.
Aplicando isso com t=\frac{1}{x} (para x\neq0) obtemos
-1 \le \cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
Agora observe o fator \frac{x^{2}}{x^{4}+1}. Como x^{2}\ge0 e x^{4}+1>0 para todo x, esse quociente é sempre não negativo:
\frac{x^{2}}{x^{4}+1}\ge0.
Multiplicando a desigualdade -1\le\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\le1 por \frac{x^{2}}{x^{4}+1} (fator não negativo) preservamos as desigualdades e obtemos, para x\neq0,
-\frac{x^{2}}{x^{4}+1}\le \frac{x^{2}}{x^{4}+1}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\le \frac{x^{2}}{x^{4}+1}.

Passo 3

Agora vamos estudar o limite das funções que aparecem nos lados da desigualdade: -\dfrac{x^{2}}{x^{4}+1} e \dfrac{x^{2}}{x^{4}+1} quando x\to0. Note que x^{4}\ge0 implica x^{4}+1\ge1, então
0 \le \frac{x^{2}}{x^{4}+1} \le x^{2}.
Como sabemos que
\lim_{x\to0} x^{2}=0,
pela desigualdade acima segue que
\lim_{x\to0} \frac{x^{2}}{x^{4}+1}=0.
Portanto os limites laterais são
\lim_{x\to0} -\frac{x^{2}}{x^{4}+1}=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to0} \frac{x^{2}}{x^{4}+1}=0.

Passo 4

Aplicamos agora o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze theorem): se uma função g(x) satisfaz
\ell(x)\le g(x)\le u(x)
em torno de um ponto e \lim \ell(x)=\lim u(x)=L, então \lim g(x)=L. No nosso caso g(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{4}+1}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right), \ell(x)=-\dfrac{x^{2}}{x^{4}+1}, u(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{4}+1} e ambos \ell e u têm limite 0 quando x\to0. Pelo teorema do confronto obtemos
\lim_{x\to0} \frac{x^{2}}{x^{4}+1}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.

Passo 5

Comentário didático rápido (para fixar): o truque usado é muito comum quando aparece uma função oscilante limitada (como \cos ou \sin) multiplicada por um fator que vai a zero. Exemplos parecidos e úteis para a prova são
\lim_{x\to0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to0} x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)=0,
porque usamos exatamente a mesma ideia de limitar a oscilação entre -1 e 1 e aplicar o teorema do confronto.

Resposta

0

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