Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-4 y=6 e^{2 t-2}, \quad y(1)=4, \quad y^{\prime}(1)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+3y'-4y=6e^{2t-2},\qquad y(1)=4,\qquad y'(1)=5.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação diferencial: }y''+3y'-4y=6e^{2t-2}.\\\ &\text{Condições iniciais em }t=1:\; y(1)=4,\; y'(1)=5.\\\ &\text{Queremos a solução }y(t)\text{ para }t\ge 1\text{ (ou em geral onde a solução estiver definida).} \end{aligned}çãçõçãçã

Passo 2

Como as condições iniciais estão em t=1 e a transformada de Laplace é mais direta com condições em t=0, fazemos a mudança de variável que desloca o tempo: definimos
u=t-1,
e a nova função
w(u)=y(u+1).
Com isso u=0 corresponde a t=1. As derivadas em relação a t e u coincidem (pois du/dt=1), logo
y'(t)=\frac{dw}{du}(u),\qquad y''(t)=\frac{d^2w}{du^2}(u).
As condições iniciais tornam-se
w(0)=y(1)=4,\qquad w'(0)=y'(1)=5.

Passo 3

Reescrevemos a equação em termos de u. No lado direito, substituímos t=u+1 para obter
6e^{2t-2}=6e^{2(u+1)-2}=6e^{2u}.
Portanto a equação para w(u) é
w''(u)+3w'(u)-4w(u)=6e^{2u},
com
w(0)=4,\qquad w'(0)=5.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada de Laplace em u. Vou lembrar as fórmulas que usaremos (para uma função w(u) com transformada W(s)=\mathcal{L}\{w(u)\}):
\mathcal{L}\{w'(u)\}=sW(s)-w(0),
\mathcal{L}\{w''(u)\}=s^2W(s)-s w(0)-w'(0).
Também usaremos
\mathcal{L}\{e^{au}\}=\frac{1}{s-a}\quad(\Re(s)>a).
Aqui w(0)=4 e w'(0)=5.

Passo 5

Aplicando \mathcal{L} à equação w''+3w'-4w=6e^{2u} obtemos (cada termo transformado separadamente):
\mathcal{L}\{w''\}+\;3\mathcal{L}\{w'\}-4\mathcal{L}\{w\}=\;6\mathcal{L}\{e^{2u}\}.
Substituindo as fórmulas:
\big(s^2W(s)-s w(0)-w'(0)\big)+3\big(sW(s)-w(0)\big)-4W(s)=6\cdot\frac{1}{s-2}.
Agora substituímos w(0)=4 e w'(0)=5:
\big(s^2W-s\cdot4-5\big)+3\big(sW-4\big)-4W=\frac{6}{s-2}.

Passo 6

Organizamos os termos em W(s) e os termos constantes:
(s^2+3s-4)W -4s -5 -12 = \frac{6}{s-2}.
Notei que -s\cdot4-5-3\cdot4 = -4s-17. Então
(s^2+3s-4)W -4s-17=\frac{6}{s-2}.
Isolando W(s):
(s^2+3s-4)W = 4s+17+\frac{6}{s-2}.
Logo
W(s)=\frac{4s+17}{s^2+3s-4}+\frac{6}{(s-2)(s^2+3s-4)}.
Fatoramos o polinômio quadrático:
s^2+3s-4=(s+4)(s-1).
Então escrevemos
W(s)=\frac{4s+17}{(s+4)(s-1)}+\frac{6}{(s-2)(s+4)(s-1)}.

Passo 7

Fazemos frações parciais no primeiro quociente
\frac{4s+17}{(s+4)(s-1)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+4}.
Multiplicando por (s+4)(s-1) e comparando, obtemos
4s+17=A(s+4)+B(s-1).
Escolhendo valores convenientes:
s=1:\;4+17=21=5A\implies A=\frac{21}{5}.
s=-4:\;-16+17=1=-5B\implies B=-\frac{1}{5}.
Portanto
\frac{4s+17}{(s+4)(s-1)}=\frac{21/5}{s-1}-\frac{1/5}{s+4}.

Passo 8

Agora a fração com três fatores:
\frac{6}{(s-2)(s-1)(s+4)}=\frac{C}{s-2}+\frac{D}{s-1}+\frac{E}{s+4}.
Multiplicando por (s-2)(s-1)(s+4) e comparando:
6=C(s-1)(s+4)+D(s-2)(s+4)+E(s-2)(s-1).
Usamos avaliação em raízes:
s=2:\;6=C(1)(6)=6C\implies C=1.
s=1:\;6=D(-1)(5)=-5D\implies D=-\frac{6}{5}.
s=-4:\;6=E(-6)(-5)=30E\implies E=\frac{1}{5}.
Logo
\frac{6}{(s-2)(s-1)(s+4)}=\frac{1}{s-2}-\frac{6/5}{s-1}+\frac{1/5}{s+4}.

Passo 9

Somando as partes obtidas para W(s):
W(s)=\left(\frac{21/5}{s-1}-\frac{1/5}{s+4}\right)+\left(\frac{1}{s-2}-\frac{6/5}{s-1}+\frac{1/5}{s+4}\right).
Agrupando termos com os mesmos denominadores:
\begin{aligned} \text{Termo em }(s-1):&\quad \frac{21}{5}-\frac{6}{5}=\frac{15}{5}=3,\\\ \text{Termo em }(s+4):&\quad -\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=0,\\\ \text{Termo em }(s-2):&\quad 1. \end{aligned}
Portanto há cancelamento no polo s+4 e obtemos a forma simples
W(s)=\frac{3}{s-1}+\frac{1}{s-2}.

Passo 10

Agora aplicamos a transformada inversa. Lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{au},
temos
w(u)=3e^{1\cdot u}+1\cdot e^{2\cdot u}=3e^{u}+e^{2u}.
Voltando à variável original t, lembrando u=t-1, obtemos
y(t)=w(t-1)=3e^{\,t-1}+e^{\,2(t-1)}.
Podemos também escrever de forma expandida:
y(t)=3e^{-1}e^{t}+e^{-2}e^{2t}.

Resposta

y(t)=3e^{t-1}+e^{2(t-1)}

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