Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Informações dadas:
Passo 2
Como as condições iniciais estão em
e a transformada de Laplace é mais direta com condições em
, fazemos a mudança de variável que desloca o tempo: definimos
e a nova função
Com isso
corresponde a
. As derivadas em relação a
e
coincidem (pois
), logo
As condições iniciais tornam-se
Passo 3
Reescrevemos a equação em termos de
. No lado direito, substituímos
para obter
Portanto a equação para
é
com
Passo 4
Agora aplicamos a transformada de Laplace em
. Vou lembrar as fórmulas que usaremos (para uma função
com transformada
):
Também usaremos
Aqui
e
.
Passo 5
Aplicando
à equação
obtemos (cada termo transformado separadamente):
Substituindo as fórmulas:
Agora substituímos
e
:
Passo 6
Organizamos os termos em
e os termos constantes:
Notei que
. Então
Isolando
:
Logo
Fatoramos o polinômio quadrático:
Então escrevemos
Passo 7
Fazemos frações parciais no primeiro quociente
Multiplicando por
e comparando, obtemos
Escolhendo valores convenientes:
Portanto
Passo 8
Agora a fração com três fatores:
Multiplicando por
e comparando:
Usamos avaliação em raízes:
Logo
Passo 9
Somando as partes obtidas para
:
Agrupando termos com os mesmos denominadores:
Portanto há cancelamento no polo
e obtemos a forma simples
Passo 10
Agora aplicamos a transformada inversa. Lembrando que
temos
Voltando à variável original
, lembrando
, obtemos
Podemos também escrever de forma expandida: